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목록(9차) 미적분 II 문제풀이/적분 (128)
수악중독
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a, \; b, \; c$ 는 상수이고, $0
모든 실수에서 미분가능한 두 함수 $f(x), \; g(x)$가 모든 실수 $x$ 에 대하여 다음 조건을 만족한다. (가) $f(x)>0$(나) $\displaystyle \int_0^{\sin \pi x} f(t) \; dt = \int_{\cos \pi x}^{g(4x)} f(t) \; dt$ $\displaystyle \int_0^1 g(x) \; dx = 10$ 일 때, $\displaystyle \int_0^2 \left (x^2-6x+10 \right ) g'(x) \; dx$ 의 값을 구하시오. 정답 $72$
실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 $2$차 이하의 다항함수 $g(x)$ 가 다음을 만족시킨다. (가) $f'(x)=f(x)g(x)$ 이다. (단, $f(x) \ne 0$) (나) $\lim \limits_{x \to -1} \dfrac{g(x)}{x+1}>0$ 이고, $g(x)$ 의 최고차항의 계수는 $3$ 이다. (다) 함수 $h(x)= |\;f(x)-t\;|\;\; (t>0)$ 에 대하여 $h(x)$ 가 미분가능하지 않은 점의 개수를 $i(t)$ 이라고 할 때, $i(t) \le 3$ 이고 $i(t)$ 는 $t= \alpha, \; \beta$ 에서만 불연속이다. $\dfrac{\beta}{\alpha}=e^4$ 일 때, $\ln \dfrac{f(3)}{f(2)}$ 의 값을 구하시오. 더보기..
미분가능한 함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x) = \displaystyle \int_{-x}^x f(t) \; dt$ 라 하자. 두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $x
정의역이 $\{x \; | \; 0 \le x \le 8 \}$ 이고 다음 조건을 만족시키는 연속함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^8 f(x)\; dx$ 의 최댓값은 $p+\dfrac{q}{\ln 2}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 자연수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.) (가) $f(0)=1$ 이고 $f(8) \le 100$ 이다. (나) $0 \le k \le 7$ 인 각각의 정수 $k$ 에 대하여 $$f(k+t)=f(k) \;\; (0
$x \ge 0$에서 $f(x)>0$ 인 연속함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) 닫힌 구간 $[0, \; 1]$ 에서 $f(x)=2^{-x}$ 이다.(나) 열린 구간 $(2n-1, \; 2n)$ 의 임의의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 $x=t$ 및 $x$ 축, $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, $S'(t)=nt+f(2n)-2n^2$ 이다.(다) 닫힌 구간 $[2n, \; 2n+1]$ 의 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(x-2)+g(n)$ 이다. $g \left ( \dfrac{25}{2} \right ) \times \displaystyle \int_2^4 f(x) \;..
미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음의 등식을 만족시킬 때, $f(1)$ 의 값을 구하시오.$$\displaystyle \int_0^x f(t) \; dt = x^3 - 3x^2 +x + \int_0^x tf(x-t)dt, \;\; f(0)=1$$ 정답 $e-6$
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \le x \le 1 $ 일 때 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 이다. (단, $a, \; b, \; c, \; d$ 는 상수)(나) $x \ge 1$ 일 때 $2f(x)-2f(x-1)=f'(x)$ 이다.(다) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(-x)=0$ 이다. $f(1)=2e^2$ 일 때, $\displaystyle \int_{-2}^2 | f(x) | \; dx = pe^2+qe^4$ ($p, \;q$ 는 유리수)이다. $p+q$ 의 값은? ① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$ 정답 ①
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $-1 \le x \le 4$ 에서 함수 $f(x)$ 는 다음과 같다.$$f(x) = \left \{ \begin{array}{ll} 2xe^{x^2-1}+2 & (-1 \le x
실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+\dfrac{1}{4}x^2 -c$ ($c>0$ 인 상수)에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 개가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \; \alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때, 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=2$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha..