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목록2016/04 (45)
수악중독
자연수 $n$ 에 대하여 집합 $S_n=\{x \;| \; x$ 는 $3n$ 이하의 자연수 $\}$ 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 $2n$ 보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3} \sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{7}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{1}{5}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 정답 ②
그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형에 내접하는 원 $O_1$ 이 있다. 정사각형과 원 $O_1$ 의 접점을 각각 $\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1$ 이라 할 때, 원 $O_1$ 과 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 을 각각 $3:1$ 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 $O_1$ 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 $O_2$ 라 하고 그 접점을 각각 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2$ 라 할 때, 원 $O_2$ 와 두 선분 $\rm A_2B_..
전체집합 $U=\{x \;|\; x 는 \; 7이하의 \; 자연수 \}$ 의 세 부분집합 $A, \; B, \; C$ 에 대하여 $B \subset A$ 이고 $A \cup C=\{ 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6 \}$ 이다. $A-B=\{5\}$, $B-C=\{2\}$, $C-A=\{4, \;6\}$ 일 때, 집합 $ A \cap \left( B^{C} \cup C \right ) $ 는? ① $\{5\}$ ② $\{1, \; 7\}$ ③ $\{3, \;5\}$ ④ $\{1, \;3, \;5\}$ ⑤ $\{1, \;2, \; 3, \;5, \; 7\}$ 정답 ④
다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \dfrac{4}{3} + \dfrac{8}{3^2} + \dfrac{12}{3^3} + \cdots + \dfrac{4n}{3^n}=3-\dfrac{2n+3}{3^n} \cdots\cdots(*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$\dfrac{4}{3}$, (우변)=$3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.(2) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3^2}+\dfrac{12}{3^3} +\cdots+\dfrac{4k}{3^k}=3-\dfrac{2k+3}{3^k}$ 이다. 위 등식의 양변에 $\dfrac{4..
집합 $X=\{0, \;1, \;2, \;3, \;4\}$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f(x)$ 는 '$2x$ 를 $5$ 로 나눈 나머지' 로 정의하고, $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $g(x)$ 는 $(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)$ 를 만족시킨다. $g(1)=3$ 일 때, $ g(0)+g(3)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④
어떤 지역의 먼지농도에 따른 대기오염 정도는 여과지에 공기를 여과시켜 헤이즈계수를 계산하여 판별한다. 과화학적 밀도가 일정하도록 여과지 상의 빛을 분산시키는 고형물의 양을 헤이즈계수 $H$, 여과지 이동거리를 $L(m)\;(L>0)$, 여과지를 통과하는 빛전달률을 $S(0
그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $y=x^2$ 위의 점 ${\rm A}_n \left (n, \; n^2 \right )$ 을 지나고 기울기가 $-\sqrt{3}$ 인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 ${\rm B}_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\overline{{\rm OB}_n}}{\overline{{\rm OA}_n}}$ 의 값은 (단, $\rm O$ 는 원점이다.)① $\dfrac{\sqrt{3}}{7}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ ④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 정답 ⑤
세 함수 $f(x)=\sqrt{x+2}, \; g(x)=-\sqrt{x-2}+2, \; h(x)=x$ 가 있다. 함수 $y=h(x)$ 의 그래프 위의 점 ${\rm P}(a, \; a)$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm A$, 함수 $y=g(x)$ 와 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. 점 $\rm B$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=h(x)$ 의 그래프와 만나는 점을 $\rm C$ 라 할 때, $\lim \limits_{a \to 2-} \dfrac{\overline{\rm BC}}{\overline{\rm AB}}$ 의 값은? (단, $0
좌표평면에서 $x, \; y$ 에 대한 연립부등식 $$\left\{ {\begin{array}{ll}{x \ge 0}\\{y \ge \left| {{e^x} - 2} \right|}\end{array}} \right.$$ 가 나타내는 영역을 $D$ 라 하자. 양의 실수 $t$ 에 대하여 영역 $D$ 의 서로 다른 네 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 정사각형 $A$ 의 한 변의 길이는 $t$ 이다. (나) 정사각형 $A$ 의 한 변은 $x$ 축과 평행하다. 정사각형 $A$ 의 두 대각선의 교점의 $y$ 좌표의 최솟값을 $f(t)$ 라 할 때, $f'(\ln2)+f'(\ln 5)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는..
그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\rm AB$ 위의 한 점 $\rm P$ 에 대하여 $\angle {\rm PAB}=\theta$ 라 하자. 선분 $ \rm PB$ 의 중점 $\rm M$ 에서 선분 $\rm PB$ 에 접하고 호 $\rm PB$ 에 접하는 원의 넓이를 $S(\theta)$, 선분 $\rm AP$ 위에 $\rm \overline{AQ}=\overline{BQ}$ 가 되도록 하는 점 $\rm Q$ 를 잡고 삼각형 $\rm ABQ$ 에 내접하는 원의 넓이를 $T(\theta)$ 라 하자. $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{\theta ^2 \times T(\theta)}{S(\theta)}$ 의 값을 구하..