수악중독

2016년 4월 교육청 모의고사 수리영역 4점 풀이 가형 나형 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 26 26 27 27 28 가형 28번과 동일 29 29 30 30

함수 $f(x)=x^2-8x+a$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \left\{ {\begin{array}{ll}{2x + 5a}&{(x \ge a)}\\{f(x + 4)}&{(x < a)}\end{array}} \right.$$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $ a$ 의 값의 곱을 구하시오. (가) 방정식 $f(x)=0$ 은 열린 구간 $(0, \;2)$ 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.(나) 함수 $f(x)g(x)$ 는 $ x=a$ 에서 연속이다. 정답 $56$

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 기울기가 $1$ 이고 $y$ 절편이 양수인 직선이 원 $x^2+y^2=\dfrac{n^2}{2}$ 에 접할 때, 이 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 이라 하자. 점 ${\rm A}_n$ 을 지나고 기울기가 $-2$ 인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, 삼각형 ${\rm A}_n{\rm B}_n{\rm C}_n$ 과 그 내부의 점들 중 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $725$

좌표평면 위에 함수 $f(x) = \begin{cases} {\dfrac{3}{x}}&{(x > 0)} \\ {\dfrac{{12}}{x}}&{(x < 0)}\end{cases}$ 의 그래프와 직선 $y=-x$ 가 있다. 함수 $y=f(x)$ 의 그래프 위의 점 $ \rm P$ 를 지나고 $ x$ 축에 수직인 직선이 직선 $y=-x$ 와 만나는 점을 $\rm Q$, 점 $\rm Q$ 를 지나고 $y$ 축에 수직인 직선이 $y=f(x)$ 와 만나는 점을 $\rm R$ 라 할 때, 선분 $\rm PQ$ 와 선분 $\rm QR$ 의 길이의 곱 $\rm \overline{PQ} \times \overline{QR}$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $27$

세 실수 $a, \;b, \;c$ 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 다음 조건을 만족시킬 때, $abc$ 의 값을 구하시오. (가) $\dfrac{2^a \times 2^c}{2^b}=32$(나) $a+c+ca=26$ 정답 $80$

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $S_n=\{x \;| \; x$ 는 $3n$ 이하의 자연수 $\}$ 의 부분집합 중에서 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 $2n$ 보다 큰 원소로만 이루어진 모든 집합의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3} \sum \limits_{k=1}^{n}a_k$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{7}$ ② $\dfrac{1}{6}$ ③ $\dfrac{1}{5}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 정답 ②

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형에 내접하는 원 $O_1$ 이 있다. 정사각형과 원 $O_1$ 의 접점을 각각 $\rm A_1, \; B_1, \; C_1, \; D_1$ 이라 할 때, 원 $O_1$ 과 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.그림 $R_1$ 에서 두 선분 $\rm A_1B_1, \; B_1C_1$ 을 각각 $3:1$ 로 내분하는 두 점을 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 원 $O_1$ 의 내부에 그린다. 이 정사각형에 내접하는 원을 $O_2$ 라 하고 그 접점을 각각 $\rm A_2, \; B_2, \; C_2, \; D_2$ 라 할 때, 원 $O_2$ 와 두 선분 $\rm A_2B_..

전체집합 $U=\{x \;|\; x 는 \; 7이하의 \; 자연수 \}$ 의 세 부분집합 $A, \; B, \; C$ 에 대하여 $B \subset A$ 이고 $A \cup C=\{ 1, \; 2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 6 \}$ 이다. $A-B=\{5\}$, $B-C=\{2\}$, $C-A=\{4, \;6\}$ 일 때, 집합 $ A \cap \left( B^{C} \cup C \right ) $ 는? ① $\{5\}$ ② $\{1, \; 7\}$ ③ $\{3, \;5\}$ ④ $\{1, \;3, \;5\}$ ⑤ $\{1, \;2, \; 3, \;5, \; 7\}$ 정답 ④

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \dfrac{4}{3} + \dfrac{8}{3^2} + \dfrac{12}{3^3} + \cdots + \dfrac{4n}{3^n}=3-\dfrac{2n+3}{3^n} \cdots\cdots(*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$\dfrac{4}{3}$, (우변)=$3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.(2) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3^2}+\dfrac{12}{3^3} +\cdots+\dfrac{4k}{3^k}=3-\dfrac{2k+3}{3^k}$ 이다. 위 등식의 양변에 $\dfrac{4..

집합 $X=\{0, \;1, \;2, \;3, \;4\}$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $f(x)$ 는 '$2x$ 를 $5$ 로 나눈 나머지' 로 정의하고, $X$ 에서 $X$ 로의 함수 $g(x)$ 는 $(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)$ 를 만족시킨다. $g(1)=3$ 일 때, $ g(0)+g(3)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④