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수악중독
함수 $f(x)=2x+ \sin x$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(4 \pi, \; 2 \pi)$ 에서의 접선의 기울기는 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $4$
그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{27}=1$ 의 두 초점이 $\rm F, \; F'$ 이고, 제1사분면에 있는 두 점 $\rm P, \;Q$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm PF}=2$(나) 점 $\rm Q$ 는 직선 $\rm PF'$ 과 타원의 교점이다. 삼각형 $ \rm PFQ $ 의 둘레의 길이과 삼각형 $\rm PF'F$ 의 둘레의 길이의 합을 구하시오. 정답 $22$
어느 고등학교에서 대중교통을 이용하여 등교하는 학생의 비율을 알아보기 위하여 이 고등학교 학생 중 $n$ 명을 임의 추출하여 조사한 결과 $50\%$ 의 학생이 대중교통을 이용하여 등교하는 것으로 나타났다. 이 결과를 이용하여 구한 이 고등학교 전체 학생 중에서 대중교통을 이용하여 등교하는 학생의 비율 $p$ 에 대한 신뢰도 $95\%$ 의 신뢰구간이 $a \le p \le b$ 이다. $b-a=0.14$ 일 때, $n$ 의 값을 구하시오. (단, $Z$ 가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, ${\rm P}(|Z|\le 1.96)=0.95$ 로 계산한다.) 정답 $196$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $$g(x)=|2 \sin (x+2|x|)+1|$$ 에 대하여 함수 $h(x)=f(g(x))$ 는 실수 전체의 집합에서 이계도 함수 $h''(x)$ 를 갖고, $h''(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이다. $f'(3)$ 의 값을 구하시오. 정답 $48$
그림과 같이 직선 $l$ 을 교선으로 하고 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{4}$ 인 두 평면 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 있고, 평면 $\alpha$ 위의 점 $\rm A$ 와 평면 $\beta$ 위의 점 $\rm B$ 가 있다. 두 점 $\rm A, \; B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. $\overline{\rm AB}=2, \;\; \overline{\rm AD}=\sqrt{3}$ 이고 직선 $\rm AB$ 와 평면 $\beta$ 가 이루는 각의 크기가 $\dfrac{\pi}{6}$ 일 때, 사면체 $\rm ABCD$ 의 부피는 $a+ b \sqrt{2}$ 이다. $36(a+b)$ 의 값을 구하시오. 정답 $12$
함수 $$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^2} + 5}&{\left( {x < a} \right)}\\{3x + b}&{\left( {x \ge a} \right)}\end{array}} \right.$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 두 실수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 최솟값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ④
어느 고등학교에 $8$ 명의 학생으로 구성된 수학 동아리가 있다. 이 동아리가 활동할 요일을 정하기 위해 모든 구성원이 참여하여 화요일, 수요일, 목요일, 금요일 중 하나의 요일을 선택하는 비공개 투료를 실시하려고 한다.모든 구성원이 참여하여 투표를 마쳤을 때, 나올 수 있는 투표 집계표의 가짓수는? (단, 무효표는 없고, 어떤 사람이 어떤 요일을 선택하였는지에 대해서는 알 수 없다.) ① $156$ ② $159$ ③ $162$ ④ $165$ ⑤ $168$ 정답 ④
다항함수 $f(x)$ 에대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, \;f(1))$ 에서의 접선이 점 $(0, \;3)$ 을 지나고, 곡선 $y=xf(x)$ 위의 점 $(1, \;f(1))$ 에서의 접선이 점 $(0, \;-2)$ 를 지난다. $f(1)$ 의 값은? ① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$ 정답 ⑤
수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=\dfrac{3}{2}$ 이고 $$(n+2)(2n+1)a_{n+1} = -n(2n+3)a_n \;\; (n\ge 1)$$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 이 $$a_n = (-1)^{n-1} \times \dfrac{2n+1}{n(n+1)}\;\;\; \cdots \;\; (*)$$ 임을 구학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, $$(좌변)=a_1= \dfrac{3}{2}, \;\;\; (우변)= (-1)^0 \times \dfrac{3}{1 \times 2} = \dfrac{3}{2}$$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다. (ii) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$a_k = (-1)^{k-1}\times \df..
삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{f(2)}{f'(2)}$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(-x)=0$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^1 f'(x) dx = \int_{-2}^2 f'(x) dx$ ① $-\dfrac{1}{7}$ ② $-\dfrac{2}{7}$ ③ $-\dfrac{3}{7}$ ④ $-\dfrac{4}{7}$ ⑤ $-\dfrac{5}{7}$ 정답 ②