미적분과 통계기본_확률_확률의 극한_난이도 상

다음과 같이 수가 증가하는 컴퓨터 바이러스가 있다.

각 단계마다 각 개체는 다른 개체와는 독립적으로 \(p\) 의 확률로 \(1\) 개, \(1-p\) 의 확률로 \(2\) 개의 새로운 개체를 다음 단계로 남기고 자신은 소멸된다.

예를 들면, 다음은 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(4\) 단계에 바이러스가 \(4\) 개체가 된 경우 중 하나를 나타낸 것이다.

 

지금 컴퓨터에 침입한 바이러스 \(1\) 개체가 제 \(0\) 단계에서 시작하여 제 \(n\) 단계에 \(m\) 개의 개체일 확률을 \({\rm P}_n (m)\) 이라고 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\Large \frac{{\rm P}_n (2)}{p^n}}\) 의 값은?
(단, \(0<p<1\) 이고, \(n\) 은 자연수이다.)

① \(\Large \frac{1}{p}\)          ② \(1-p\)          ③ \(p\)          ④ \(\Large \frac{1-p}{p}\)          ⑤ \(\Large \frac{p}{p-1}\)          

정답 ①