등비수열의 극한 활용_난이도 상 (2025년 3월 고3 미적분 28번)

 

 

삼차함수 $f(x) = ax^3 + bx$ ($a > 0$)가 다음 조건을 만족시킨다.

 

모든 실수 $x$에 대하여 $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2x^{2n+2} + x^n + f(x)}{x^{2n} + x^n + 1}$의 값이 존재한다.

 

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)$를  $g(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2x^{2n+2} + x^n + f(x)}{x^{2n} + x^n + 1}$라 하자. 함수 $y = g(x)$의 그래프와 직선 $y = k$가 만나는 점의 개수가 $1$이 되도록 하는 자연수 $k$가 존재할 때, $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times g(2)$의 값은? (단, $a, b$는 상수이다.) 

① $6\sqrt{3}$           ② $7\sqrt{3}$           ③ $8\sqrt{3}$           ④ $9\sqrt{3}$           ⑤ $10\sqrt{3}$

정답 ④