극한의 활용_난이도 상 (2025년 3월 고3 미적분 29번)

 

 

그림과 같이 자연수 $n$ ($n \geq 2$)에 대하여 중심이 $\mathrm{C}$이고 반지름의 길이가 $n$인 원 $O$와 $\overline{\mathrm{AB}}=2$를 만족시키는 원 $O$ 위의 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$가 있다. $\angle \mathrm{BAC}$를 이등분하는 직선이 원 $O$와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{D}$라 하자. 점 $\mathrm{B}$를 포함하지 않는 호 $\mathrm{AD}$ 위의 점 $\mathrm{E}$에 대하여 $\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{DE}} = \sqrt{2}:1$일 때, 삼각형 $\mathrm{CDE}$의 넓이를 $S_n$이라 하면  
$\lim \limits_{n \to \infty} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{4} n - \dfrac{S_n}{n} \right) = \dfrac{q}{p} \sqrt{3}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $13$