극대와 극소 & 등비수열의 극한_난이도 상 (2025년 3월 고3 미적분 30번)

 

 

함수 $f(x)$는 $0 \leq x < 2$일 때 $f(x) = x(2-x)$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2) = f(x)$이다. 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$이 수렴하고 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $r$은 유리수이다.

(나) 함수 $f(x)$가 $x=a_k$에서 극값을 갖고 $0<a_k<10$인 자연수 $k$의 개수는 $3$이다.

 

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{a_1 a_{n+1} + a_{2n}}{a_{n+1} + a_n} = \dfrac{81}{10}$ 일 때, $a_7 = \dfrac{q}{p}$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) 

 

정답 $25$