두 벡터의 수직조건&벡터 종점의 자취_난이도 중상 (2024년 사관학교 기하 30번)

 

 

좌표평면에 한 변의 길이가 $4\sqrt{2}$ 인 정삼각형 $\mathrm{OAB}$ 와 다음 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{C}$ 가 있다.

 

(가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right |=4$

(나) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}>0$

 

$\left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}} \right ) \cdot \left ( \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}} \right ) = 0$ 을 만족시키는 점 $\mathrm{P}$ 와 정삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 변 위를 움직이는 점 $\mathrm{Q}$ 에 대하여 $\left |\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right |$ 의 최댓값과 최솟값의 합이 $p+q\sqrt{33}$ 일 떄, $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.)

 

정답 $40$