그림과 같이 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $90^{\mathrm o}$ 인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$ 가 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{C}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$ 를 지름으로 하는 원을 그린다. 선분 $\mathrm{BC}$ 의 중점을 지나고 직선 $\mathrm{OB}$ 에 평행한 직선이 원과 만나는 점 중 점 $\mathrm{B}$ 에 가까운 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{BC}}=x$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{OAP}$ 의 넓이를 $S(x)$ 라 하자. $S(x)$ 의 최댓값이 $\dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $0<x<\sqrt{2}$ 이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)
