부정적분 & 함수의 증가와 감소 & 미분가능조건_난이도 상 (2024년 6월 평가원 고3 15번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 상수 $k \; (k\ge 0)$ 에 대하여 함수 $g(x)=\begin{cases}2x-k & (x \le k) \\ f(x) & (x>k) \end{cases}$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 함수 $g(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능하다.

(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^x g(t) \left \{ | t(t-1) | + t(t-1) \right \} dt \ge 0$ 이고 $\displaystyle \int_3^x g(t) \left \{ | (t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2) \right \} dt \ge 0$ 이다.

 

$g(k+1)$ 의 최솟값은?

 

① $4-\sqrt{6}$          ② $5-\sqrt{6}$          ③ $6-\sqrt{6}$          ④ $7-\sqrt{6}$          ⑤ $8-\sqrt{6}$

 

정답 ②