상수 $a\; (a>1)$ 과 실수 $t \; (t>0)$ 에 대하여 곡선 $y=a^x$ 위의 점 $\mathrm{A}\left ( t, \; a^t \right )$ 에서의 접선을 $l$ 이라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 직선 $l$ 에 수직인 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$, $y$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. $\dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{AB}}}$ 의 값이 $t=1$ 에서 최대일 때, $a$ 의 값은?
① $\sqrt{2}$ ② $\sqrt{e}$ ③ $2$ ④ $\sqrt{2e}$ ⑤ $e$
