좌극한과 우극한_난이도 상 (2023년 9월 전국연합 고2 30번)

 

 

두 양수 $a, \; b \; (a<b)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $$f(x)=\begin{cases} \left | -ax^2+b \right | & (x \le 0) \\ x^2-2ax+b^2 & (x>0) \end{cases}$$ 이다. 양의 실수 $t$ 에 대하여 직선 $y=t$ 가 함수 $y=f(x)$ 의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(t)$ 라 하자. 함수 $g(t)$ 는 최솟값 $2$ 를 갖고, 두 상수 $\alpha, \; \beta$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\left | \lim \limits_{t \to \alpha-} g(t) - \lim \limits_{t \to \alpha+} g(t) \right | = 2$

(나) $\lim \limits_{t \to \beta -} g(t) - \lim \limits_{t \to \beta +} g(t)+1=g(\beta)$

(다) $g(\alpha) \ne g(\beta)$

 

$f \left (\dfrac{1}{2} \right ) = \alpha, \; \alpha + 24\beta=30$ 일 때, $f(-2) + f(1)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $311$