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타원의 정의_난이도 상 (2023년 9월 평가원 고3 기하 29번) 본문

기하 - 문제풀이/이차곡선

타원의 정의_난이도 상 (2023년 9월 평가원 고3 기하 29번)

수악중독 2023. 9. 6. 21:32

 

 

한 초점이 F(c,  0)  (c>0)\mathrm{F}(c, \; 0) \; (c>0) 인 타원 x29+y25=1\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1 과 중심의 좌표가 (2,  3)(2, \; 3) 이고 반지름의 길이가 rr 인 원이 있다. 타원 위의 점 P\mathrm{P} 와 원 위의 점 Q\mathrm{Q} 에 대하여 PQPF\overline{\mathrm{PQ}} - \overline{\mathrm{PF}} 의 최솟값이 66 일 때, rr 의 값을 구하시오. 

 

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정답 1717

 

그냥 세 점 F,  P,  Q\mathrm{F', \; P, \; Q} 만 한 직선 위에 있으면 되는 것이 아니냐고 질문을 하는 학생들이 있습니다.

즉, rr1717 보다 작은 경우에도 세 점 F,  P,  Q\mathrm{F', \; P, \; Q} 만 한 직선 위에 있고 QF=12\overline{\mathrm{QF'}}=12 인 경우도 있으니까 rr1717 보다 작을 수 있는 것 아니냐고 질문을 합니다.

그런 경우에는 직선 AF\mathrm{AF'} 를 그려서 직선이 타원, 원과 만나는 교점을 각각 P,  Q\mathrm{P, \; Q} 라고 생각해 보세요.

(물론 이때 점 P\mathrm{P} 는 직선과 타원의 두 교점 중 점 A\mathrm{A} 로 부터 더 먼 점이고, 점 Q\mathrm{Q} 는 직선과 원이 만나는 두 교점 중 점 P\mathrm{P} 와 더 가까운 점입니다.)

그럼 QF<12\mathrm{QF'}<12 인 두 점 P,  Q\mathrm{P, \; Q} 가 존재하게 됩니다. 즉, 이렇게 되면 PQ+PF\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PF'}} 의 최솟값이 1212 가 아니게 됩니다. 

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