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수악중독

두 점 사이의 거리&두 직선이 수직일 조건_난이도 중 (2019년 9월 전국연합 고1 18번) 본문

(고1) 수학 - 문제풀이/도형의 방정식

두 점 사이의 거리&두 직선이 수직일 조건_난이도 중 (2019년 9월 전국연합 고1 18번)

수악중독 2023. 1. 2. 09:10

 

 

00 이 아닌 실수 mm 에 대하여 직선 l  :  y=1mx+2l\; : \; y=\dfrac{1}{m}x+2 위의 점 A(a,  4){\rm A}(a, \; 4) 에서 xx 축에 내린 수선의 발을 B\rm B 라 하고, 점 B\rm B 에서 직선 ll 에 내린 수선의 발을 H\rm H 라 하자. 다음은 삼각형 OBH\rm OBHmm 의 값에 관계없이 이등변삼각형임을 보이는 과정이다. (단, O\rm O 는 원점이다.)

 

A(a,  4){\rm A}(a, \; 4) 는 직선 l  :  y=1mx+2l \; : \; y=\dfrac{1}{m}x+2 위의 점이므로 

a=()a= \boxed{ (가) }

직선 BH\rm BH 는 직선 ll 에 수직이므로

직선 BH\rm BH 의 방정식은 y=m(x())y=-m \left (x- \boxed{ (가) } \right )

직선 ll 과 직선 BH\rm BH 가 만나는 점 H\rm H 의 좌표는

H(2m32m(),  4m2()){\rm H} \left (\dfrac{2m^3-2m}{\boxed{ (나) }}, \; \dfrac{4m^2}{\boxed{ (나) }} \right )

선분 OH\rm OH 의 길이는 

(2m32m())2+(4m2())2=2m()m4+()×m2+1=()\begin{aligned}& \sqrt{\left (\dfrac{2m^3-2m}{\boxed{ (나) }}\right )^2 + \left (\dfrac{4m^2}{\boxed{ (나) }} \right )^2} \\ &= \dfrac{|2m|}{\boxed{ (나) }} \sqrt{m^4+\boxed{ (다) } \times m^2 +1 } \\ &= \left | \boxed{ (가) } \right |\end{aligned}

이므로 선분 OH\rm OH 의 길이와 선분 OB\rm OB 의 길이가 서로 같다.

따라서 삼각형 OBH\rm OBHmm 의 값에 관계없이 이등변삼각형이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(m),  g(m)f(m), \; g(m) 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 kk 라 할 때, f(k)×g(k)f(k) \times g(k) 의 값은?

 

1414          ② 1616          ③ 1818          ④ 2020          ⑤ 2222

 

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정답 ④

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