나머지 정리_난이도 중 (2019년 11월 전국연합 고1 15번)

 

 

다항식 $f(x)$ 를 $x^2-x$ 로 나눈 나머지가 $ax+a$ 이고, 다항식 $f(x+1)$ 을 $x$ 로 나눈 나머지는 $6$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은?

 

① $1$          ② $2$          ③ $3$          ④ $4$          ⑤ $5$

 

정답 ③

$f(x)=x(x-1)Q(x)+ax+a$

$\begin{aligned}f(x+1)&=(x+1)xQ(x+1)+a(x+1)+a \\ &= x \left \{ (x+1)Q(x+1)+a \right \} +2a \end{aligned}$

따라서 $f(x+1)$ 을 $x$ 로 나눈 나머지는 $2a$ 가 된다.

$2a=6, \quad \therefore a=3$