함수의 그래프와 미분&접선의 방정식_난이도 상 (2022년 사관학교 미적분 30번)

최고차항의 계수가 $-2$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 두 실수 $a\; (a>0)$,  $b$ 에 대하여 함수 $$g(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x+1)}{x} & (x<0) \\[10pt] f(x)e^{x-a}+b & (x \ge 0) \end{cases}$$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\lim \limits_{x \to 0-} g(x)=2$ 이고 $g'(a)=-2$ 이다.

(나) $s< 0 \le t$ 이면 $\dfrac{g(t)-g(s)}{t-s} \le -2$ 이다.

 

$a-b$ 의 최솟값을 구하시오. 

 

정답 $4$