수학2_이차곡선_타원의 정의_난이도 상

아래 [그림1]은 옆면이 윗면과 밑면에 수직이고 속이 비어 있는 원기동을 밑면에 평행하지 않은 비스듬한 평면 $\alpha$ 로 자른 상태를 나타낸 것이다. 이때, 평면 $\alpha$ 와 원기둥의 옆면이 만나는 교선 $e$ 의 모양은 타원이 된다. 이제 [그림2]와 같이 원기둥의 반지름과 반지름이 같은 반구 $2$ 개를 원기둥의 위와 아래에서 반구의 평평한 면이 원기둥의 밑면에 평행인 상태가 유지되도록 하면서 두 반구가 각각 평면 $\alpha$ 에 접할 때까지 밀어 넣는다. [그림2]에서 점 $\rm P,\;Q$ 는 각각 교선 $e$ 상의 점 중에서 가장 아래에 있는 점과 가장 위에 있는 점을 나타내고, 사각형 $\rm ABCD$ 는 점 $\rm P$ 와 $\rm Q$ 를 각각 품는 변 $\rm AC$ 와 변 $\rm BD$ 를 두 변으로 하는 밑면에 수직인 사각형이다. 또한 점 $\rm E, \;F,\;G,\;H$ 는 반구와 원기둥의 접점들을 나타내는 점으로서 $\rm E, \; G$ 는 변 $\rm AC$ 상에 , $\rm F,\; H$ 는 변 $\rm BD$ 상에 각각 존재하는 점이고 곡선 $f$ 와 $g$ 는 반구와 원기둥의 교선을 각각 나타낸다. 이때, 다음 중 타원 $e$ 의 장축의 길이과 같은 값을 갖는 것은?

① $\overline {\rm PE}$          ② $\overline {\rm QH}$          ③ $\overline {\rm FH}$          ④ $\overline {\rm QE}$          ⑤ $\overline {\rm PH}$          

정답 ③

이 문제는 아래 그림을 보면 이해하기가 수월한다.

위 그림에서 평면 α와 원기둥의 옆면의 교선 e위의 임의의 점을 X라고 하고, 점 X를 지나면서 원기둥 밑면에 수직인 직선이 반구와 만나는 점을 각각 Y, Z라고 하자. 또한 반구와 평면 α가 접하는 접점을 각각 L, M이라고 하면 XL과 XY는 각각 구 밖의 한 점에서 구에 그은 접선의 길이가 되므로 서로 같게 된다. 똑같은 방법으로 XM과 XZ는 각각 구 밖의 한 점에서 구에 그은 접선의 길이가 되므로 서로 같게 된다.

이 렇게 되면 타원의 장축 위의 두 접점 L, M에서 교선 e위의 임의의 점 X까지의 거리의 합이 항상 YZ의 길이와 같아지게 되므로, 타원의 초점은 L, M이 되며 그 거리의 합이 YZ의 길이가 된다. 따라서 장축의 길이도 YZ의 길이가 되고, 이는 곧 FH의 길이와 같아진다.