미분가능성&적분의 성질_난이도 중 (2021년 9월 평가원 고3 14번)

최고차항의 계수가 $1$ 이고 $f'(0)=f'(2)=0$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 양수 $p$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x) = \begin{cases} f(x)-f(0) & (x \le 0) \\ f(x+p)-f(p) & (x>0) \end{cases}$$ 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

 

ㄱ. $p=1$ 일 때, $g'(1)=0$ 이다.

ㄴ. $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 $p$ 의 개수는 $1$ 이다.

ㄷ. $p \ge 2$ 일 때, $\displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx \ge 0$ 이다.

 

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ          ③ ㄱ, ㄷ          ④ ㄴ, ㄷ          ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

정답 ⑤