공간좌표&정사영의 넓이_난이도 중 (2021년 9월 평가원 고3 기하 29번)

그림과 같이 한 변의 길이가 $8$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 에 두 선분 $\rm AB, \; CD$ 를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 $\rm AB$ 의 삼등분점 중 점 $\rm B$ 에 가까운 점을 $\rm P$ 라 하고, 반원의 호 $\rm CD$ 를 이등분하는 점을 $\rm Q$라 하자.

이 종이에서 두 선분 $\rm AB$ 와 $\rm CD$ 를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 에서 평면 $\rm ABCD$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm G, \; H$ 라 하면 두 점 $\rm G, \; H$ 는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 내분에 놓여 있고, $\overline{\rm PG} = \sqrt{3}, \; \overline{\rm QH}=2\sqrt{3}$ 이다. 두 평면 $\rm PCQ$ 와 $\rm ABCD$ 가 이루는 각의 크기라 $\theta$ 일 때, $70 \times \cos ^2 \theta$ 의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

 

정답 $40$