타원과 접선의 성질

타원과 접선의 성질

점 $\rm F, \; F'$ 를 두 초점으로 하는 타원 위의 임의의 점 $\rm P$ 와 그 점에서 타원에 접하는 접선 $l$ 에 대하여 $\rm Q$ : $\rm P$ 를 제외한 직선 $l$ 위의 임의의 점, $\rm Q'$ : 선분 $\overline{\rm QF'}$ 와 타원의 교점, $\rm R$ : 직선 $l$ 에 대한 점 $\rm F$ 의 대칭점 일 때, 다음이 성립한다.

(1) $\overline{\rm QF} + \overline{\rm  QF'} > \overline{\rm PF}+\overline{\rm PF'}$

(2) $\rm F', \; P, \; R$ 은 일직선 위에 있다.

증명

 (1) 

타원의 정의에 의하여 $\overline{\rm Q'F} + \overline{\rm Q'F'}=\overline{\rm PF}+\overline{\rm PF'}$ 이고 $\overline{\rm QF}+\overline{\rm QF'} > \overline{\rm Q'F}+\overline{\rm Q'F'}$  이므로 $\overline{\rm QF}+\overline{\rm QF'}>\overline{\rm PF}+\overline{\rm PF'}$ 이 성립한다.

(2) 

$\rm F', \; P, \; R$ 이 일직선 위에 있지 않다고 한다면 $\overline{\rm FR}$ 과 타원의 교점은 $\rm P$ 가 아닌 다른 점이 될 것이고 이 점을 $\rm S$ 라고 하자.  $\rm P, \; S$ 가 모두 타원 위의 점이므로 $\overline{\rm SF} + \overline{\rm SF'} = \overline{\rm PF} + \overline{\rm PF'}$ 가 성립하고, 점 $\rm R$ 이 직선 $l$ 에 대한 점 $\rm F$ 의 대칭점이므로 $\overline{\rm SF} < \overline{\rm SR}, \;\; \overline{\rm PR} = \overline{\rm PF}$ 가 성립한다. 하지만 이 경우 $\overline{\rm SF} + \overline{\rm SF'} < \overline{\rm SR} + \overline{\rm SF'} <\overline{\rm PF'} + \overline{\rm PR} = \overline{\rm PF'} + \overline{\rm PF}$ 가 되어 타원의 정의에 모순되게 된다. 따라서 $\rm F', \; P, \; R$ 은 일직선 위에 있다.

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