합성함수와 역함수의 미분&미분가능성_난이도 상 (2020년 12월 수능 가형 28번)

두 상수 $a, \; b\; (a<b)$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)=(x-a)(x-b)^2$$ 이라 하자. 함수 $g(x)=x^3+x+1$ 의 역함수 $g^{-1}(x)$ 에 대하여 합성함수 $h(x)=\left ( f \circ g^{-1} \right )(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(8)$ 의 값을 구하시오.

 

(가) 함수 $(x-1)|h(x)|$ 가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) $h'(3)=2$

 

정답 $72$