넓이와 적분&역함수의 미분_난이도 상 (2020년 9월 교육청 고3 가형 30번)

두 함수 $$f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}, \; \; g(x) = \dfrac{x^2-x+1}{x^2+1}$$ 이 있다. 양의 실수 $t$ 에 대하여 두 곡선 $y=f(x), \; \; y=g(x)$ 와 직선 $x=t$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 점 $\rm P$ 의 $x$ 좌표를 $h(t)$ 라 하자.

 

(가) 점 $\rm P$ 는 $x$ 축 위에 있고, $x $ 좌표는 양수이다.

(나) 점 $\rm P$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 직선과 곡선 $y=\{f(x)-g(x)\} \ln \left (x^2 +1 \right ) $ 및 $x$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $S(t)$ 이다.

 

양수 $\alpha $ 가 $h(\alpha)=\alpha$ 를 만족시킬 때, $h'(\alpha) + \left (h^{-1} \right )'(\alpha) = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $7$