치환적분&함수의 그래프와 미분_난이도 상 (2020년 10월 교육청 고3 가형 30번)

최고차항의 계수가 $k\; (k>0)$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(0)=f(-2), \; f(0) \ne 0$ 이다. 함수 $g(x)=(ax+b) e^{f(x)} \; (a<0)$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $(x+1) \{g(x)-mx-m\} \le 0$ 을 만족시키는 실수 $m$ 의 최솟값은 $-2$ 이다.

(나) $\displaystyle \int_0^1 g(x) dx = \int_{-2f(0)}^1 g(x) dx = \dfrac{e-e^4}{k}$

 

$f(ab)$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.)

 

정답 $25$