순열&조합_난이도 상 (2020년 3월 전국연합 고2 29번)

서로 다른 종류의 꽃 $4$ 송이와 같은 종류의 초콜릿 $2$ 개를 $5$ 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 아무것도 받지 못하는 학생이 없도록 꽃과 초콜릿을 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.

정답 $960$

학생은 $5$ 명이고, 나누어 줄 물품은 $6$ 개 이므로 어느 한 사람은 두 가지 물품을 받아야 한다.

1) 두 가지 물품을 받는 학생이 초콜릿만 두 개를 받는 경우
    두 가지 물품을 받을 사람을 선택하는 경우의 수 : ${}_5 {\rm C}_1$
    나머지 네 명에게 꽃을 나누어 주는 경우의 수 : $4!$
    따라서 ${}_5{\rm C}_1 \times 4! = 120$

2) 두 가지 물품을 받는 학생이 꽃만 $2$ 개를 받는 경우
    두 가지 물품을 받을 사람을 선택하는 경우의 수 : ${}_5 {\rm C}_1$
    이 사람에게 줄 꽃 두 개를 선택하는 경우의 수 : ${}_4{\rm C}_2$
    나머지 네 명에게 꽃 두 개와 초콜릿 두 개를 나누어 주는 경우의 : $\dfrac{4!}{2!}$ (초콜릿 두 개가 같은 종류이므로 같은 것이 있는 순열)
    따라서 ${}_5{\rm C}_1 \times {}_4{\rm C}_2 \times \dfrac{4!}{2!} = 360$

3) 두 가지 물품을 받는 학생이 꽃과 초콜릿을 받는 경우
    두 가지 물품을 받을 사람을 선택하는 경우의 수 : ${}_5 {\rm C}_1$
    이 사람에게 줄 꽃을 선택하는 경우의 : ${}_4{\rm C}_1$
    나머지 네 명에게 꽃 세 개와 초콜릿 한 개를 나누어주는 경우의 수 : $4!$
    따라서 ${}_5{\rm C}_1 \times {}_4{\rm C}_1 \times 4! = 480$

1), 2), 3) 에서 구하는 경우의 수는 $120+360+480=960$ 가지이다.