(이과) 이면각의 크기_난이도 상

그림과 같이 원 $C_1 \; : \; x^2+y^2=9, \; z=0$ 와 $xy$ 평면 위의 직선 $l$ 이 점 $\rm P$ 에서 접하고, 점 $(0,\; 0,\; 3)$ 을 중심으로 하는 원 $C_2$ 의 $xy$ 평면 위로의 정사영은 단축의 길이가 $2$ 이고 장축의 길이가 $2\sqrt{2}$ 인 타원이다. 원 $C_2$ 위의 점 중 $xy$ 평면까지의 거리가 최대인 점을 $\rm Q$, 원 $C_1$ 위의 점 중 $\rm Q$ 와의 거리가 최소인 점을 $\rm R$ 이라 할 때, 두 점 $\rm Q, \; R$ 을 지나는 평면 중 원 $C_1$ 와 오직 한점에서 만나는 평면을 $\alpha$ 라 하자. 평면 $\alpha$ 와 직선 $l$ 의 교점을 $\rm S$ 라 할 때, 점 $\rm Q$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발은 선분 $\rm PS$ 를 $1:5$ 로 내분한다. 직선 $l$ 과 점 $\rm Q$ 를 포함하는 평면과 $xy$ 평면이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\tan \theta=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 소로소인 자연수이다.)  

정답 $15$