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직선의 방정식 본문

(9차) 수학 I 개념정리

직선의 방정식

수악중독 2016.05.11 11:17

직선의 결정조건 - 한 점과 기울기





직선의 방정식





축에 평행한 직선의 방정식





두 직선의 위치 관계




두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식





점과 직선 사이의 거리

  좌표평면에서 점 ${\rm P}(x_1, \; x_2)$ 와 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리를 $d$ 라고 하면 $$d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$


점 $\rm P$ 와 직선 $l\; : \; ax+by+c=0\;\;(a\ne 0, \; b \ne 0)$ 사이의 거리를 $d$, 점 $\rm P$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 ${\rm H}(x_2, \; y_2)$ 라고 하면  $d=\overline{\rm PH}$ 이다. 이때, 직선 $l$ 의 기울기가 $-\dfrac{b}{a}$ 이고 직선 $l$ 와 직선 $\rm PH$ 가 수직이므로 직선 $\rm PH$ 의 기울기는 $\dfrac{b}{a}$ 가 되어야 한다. 또한 직선 $\rm PH$ 의 기울기를 두 점 $\rm P, H$ 의 좌표로부터 구하면 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 이므로 다음이 성립한다. $$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \dfrac{b}{a}$$ 양변에 $\dfrac{x_2-x_1}{b}$ 를 곱하면 $$\dfrac{x_2-x_1}{a}=\dfrac{y_2-y_1}{b}$$ 가 되고 이 값을 $\dfrac{x_2-x_1}{a}=\dfrac{y_2-y_1}{b}=k$ 라고 하면 $$x_2-x_1=ak, \;\; y_2-y_1=bk$$ 가 된다. 또한 ${\rm H}(x_2, \; y_2)$ 가 직선 $l$ 위의 점이고 $x_2=x_1+ak, \; y_2=y_1 +bk$ 이므로 $$\begin{align} a(x_1+ak)+b(y_1+bk)+c &= 0 \\ ax_1 + a^2k +by_1 + b^2k +c &=0 \end{align}$$ $$\left (a^2 +b^2 \right ) k = -ax_1 - by_1 -c \\ \therefore k = - \dfrac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$$ 두 점 $\rm P, \; Q$ 사이의 거리 $\overline{\rm PH}=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ 이므로 $$\begin{align} d &= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[10pt] &=\sqrt{\left .a^2k^2+b^2k^2 \right .} =\sqrt{k^2 \left (a^2 + b^2 \right )} \\[10pt] &= |k| \sqrt{a^2+b^2} \\[10pt] &= \left | - \dfrac{ax_1 +by_1 +c}{a^2+b^2} \right | \times \sqrt{a^2+b^2} \\[10pt] &=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{align}$$






관련 예제


직선의 평행과 수직_난이도 중

내분점 & 점과 직선 사이의 거리_난이도 상

내분점 & 점과 직선 사이의 거리_난이도 상


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