2016학년도 수능 B형 21번 - 미분법

\(0<t<41\) 인 실수 \(t\) 에 대하여 곡선 \(  y=x^3 +2x^2-15x+5\) 와 직선 \(y=t\) 가 만나는 세 점 중에서 \(x\) 좌표가 가장 큰 점의 좌표를 \(\left ( f(t), \;t \right )\), \(x\) 좌표가 가장 작은 점의 좌표를 \( \left ( g(t), \; t \right )\) 라 하자. \( h(t) = t \times \{ f(t) - g(t) \}\) 라 할 때, \(h'(5)\) 의 값은?

① \(\dfrac{79}{12}\)          ② \(\dfrac{85}{12}\)          ③ \(\dfrac{91}{12}\)          ④ \(\dfrac{97}{12}\)          ⑤ \(\dfrac{103}{12}\)          

정답 ④

\(h'(t)= \{ f(t)-g(t) \} + t \times \{ f'(t) - g'(t) \}\) 가 된다. 따라서 \[h'(5) = \{ f(5)-g(5) \} + 5 \times \{f'(5)-g'(5) \}\] 를 구하면 된다.

 

먼저 \(t=5\) 일 때는 삼차방정식 \( x^3+2x^2-15x+5=5\) 의 세 근 중 가장 큰 근이 \(f(5)\), 가장 작은 근이 \(g(5)\) 가 된다. 위 삼차방정식은 \(x(x-3)(x+5)=0\) 이 되므로 \(f(5)=3, \; g(5)=-5\) 가 된다. 

또한 \(y\) 가 \(x\) 에 대한 함수이므로 다음과 같이 표현할 수 있다. \[y(x) = x^3 + 2x^2 -15x +5\] 문제에서 \(y=t\) 일 때, \(x=f(t)\) 라고 했으므로 \[y(f(t))=t\] 로 표현할 수 있다. 위 식의 양변을 \(t\) 에 대해서 미분하면 \[y'(f(t)) \times f'(t) = 1\] 이므로 \[f'(5) = \dfrac{1}{y'(f(5))}\] 임을 알 수 있다. 이때, \( y'(x) = 3x^2 + 4x-15\) 이고 \(f(5)=3\) 이므로 \( f'(5) = \dfrac{1}{27+12-15} = \dfrac{1}{24}\) 이 된다.

같은 방법으로 \(g'(5) = \dfrac{1}{75-20-15}=\dfrac{1}{40}\) 이 된다.

따라서 \[ \begin{aligned} h'(5) &= \{ 3-(-5)\} + 5 \times \left ( \dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{40} \right ) \\ &= 8 + 5 \times \dfrac{1}{60} \\ &= \dfrac{97}{12} \end{aligned} \] 이 된다.