미적분과 통계기본_확률_독립시행의 확률_난이도 중

다음 조건을 만족시키는 \(9\) 개의 상자가 있다.

  [상자 \(r\)] 에는 흰 구슬 \(r\) 개, 검은 구슬 \((8-r)\) 개가 들어 있다. 

   (단, \(r=0,\;1,\;2,\; \cdots,\; 8\)) 

다음은 동전 \(8\) 개를 동시에 던져 앞면이 나오는 개수에 해당하는 번호의 상자에서 구슬을 한 개 꺼낼 때, 흰 구슬이 나올 확률을 구하는 과정의 일부이다.

\(\rm I.\) 이항정리에 의하여 \((1+x)^8 = \;_8 {\rm C} _0 +\; _8 {\rm C}_1 x +  _8 {\rm C}_2 x^2 + \cdots +  _8 {\rm C}_8 x^8\)

     이 식의 양변을 \(x\) 에 대하여 미분하면

     \( 8(1+x)^7 =  _8 {\rm C}_1 + 2 \cdot  _8 {\rm C}_2 x + \cdots + 8 \cdot  _8 {\rm C}_8 x^7\)

     \(\sum \limits_{r=1}^{8} r \cdot  _8 {\rm C}_r = (\; 가\; )\) 이다.

\(\rm II.\) 동전 \(8\) 개를 동시에 던져 나온 앞면의 개수가 \(r\) 인 사건을 \(A_r\),

     꺼낸 구슬이 흰 구슬인 사건을 \(B\) 라 하면

     \({\rm P} (B)=\sum \limits_{r=1}^{8} {\rm P}(A_r \cap B)\) 이므로

                    \(\vdots\)

따라서 구하는 확률 \({\rm P}(B)=( \; 나\; )\) 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 값의 곱은?

① \(64\)          ② \(128\)          ③ \(256\)          ④ \(512\)          ⑤ \(1024\)

정답 ④