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자연수 \(m\) 에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 \(1\) 열에 \(1\) 개, \(2\) 열에 \(2\) 개, \(3\) 열에 \(3\) 개, \(\cdots\) , \(m\) 열에 \(m\) 개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다. 블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 \(\dfrac{1}{2}\) 만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다. 블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, \(1\) 열부터 \(m\) 열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 \(f(m)\) 이라 하자. 예를 들어, \(f(2)=2,\;\;f(3)=5,\;\;f(4)=6\) 이다. \[\lim \limits _{n \to \infty} \frac..
자연수 \(n\) 에 대하여 행렬 \(\left (\matrix { 2^n & 3^n \\ 3^n & 2^n} \right ) \) 의 역행렬의 모든 성분의 합을 \(a_n\) 이라 할 때, 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \( \lim \limits _{n \to \infty} a_n =0 \) ㄴ. \(\lim \limits_{n \to \infty } {\displaystyle \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} = {\displaystyle \frac{2}{3}}\) ㄷ. \({\displaystyle \frac{1}{3^n}} < a_n < {\displaystyle \frac{1}{2^n}}\) \( n=1,\;2,\; 3,\; \cdots)\) ① ㄱ ② ㄴ..
그림과 같이 곡선 \(y=x^2\) 위의 점 \({\rm P}_n \left ( n,\; n^2 \right )\) ( \(n\) 은 자연수) 에서의 접선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \({\rm Q}_n ,\; {\rm R}_n \) 이라 하고, 원점 \(\rm O\) 에 대하여 삼각형 \({\rm OQ}_n {\rm R}_n \) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits_{n\to \infty} {\dfrac{S_n}{n^3}}\) 의 값은? ① \( \dfrac{1}{4}\) ② \( \dfrac{1}{5}\) ③ \( \dfrac{1}{6}\) ④ \( \dfrac{1}{7}\) ⑤ \( \dfrac{1}{8}\) 정답 ①
자연수 \(n\) 에 대하여 집합 \(\{ k \; \vert \; 1\le k \le 2n ,\;\;k 는\;자연수\}\) 의 세 원소 \(a,\;b,\;c\;\;(a
\(n\) 이 양의 정수일 때, \(6^n\) 의 양의 약수의 총합은 \(T(n)\) 이다. 이 때, \(\lim \limits _{n\to \infty} {\dfrac{6^n}{T(n)}}\) 의 값을 구하면? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{6}\) ④ \(\dfrac{1}{12}\) ⑤ \(\dfrac{1}{18}\) 정답 ②
\(\lim \limits _{x \to 0} x \left [ {\Large \frac{1}{x}} \right ] \) 을 계산하면? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ④
다음 그림과 같이 선분 \(\rm AB\) 의 연장선 위에 동점 \(\rm P\) 가 있다 선분 \(\rm AP\) 를 지름으로 하는 반원의 원주 위에 \(\overline{\rm PB} = \overline {\rm PQ}\) 인 점 \(\rm Q\) 를 잡고, 점 \(\rm Q\) 에서 선분 \(\rm AP\) 에 내린 수선의 발을 \(\rm R\) 이라 한다. \(\overline {\rm BP} =x\) 라 할 때, \(\lim \limits _{x \to \infty} {\Large \frac{\overline {\rm AR}}{\overline {\rm AB}}}\) 의 값은? (단, 점 \(\rm P\) 는 점 \(\rm B\) 에 대하여 점 \(\rm A\) 의 반대쪽에 있다.) ① \(2..
함수 \(f(x)=\sqrt{[x]+1-\left ( x- [x] \right )^2 }\;\; (x \ge 0)\) 과 직선 \(x=n-1,\; x=n\) 및 \(x\) 축으로 둘러싸인 도형을 \(x\) 축의 둘레로 회전시킨 도형의 부피를 \(V_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} \dfrac{\sum \limits _{k=1}^{n} V_k }{n^2}\) 의 값은? (단, \([x]\) 는 \(x\) 보다 크지 않은 최대의 정수) ① \(\dfrac{\pi}{2}\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{3\pi}{2}\) ④ \(2\pi\) ⑤ \(\dfrac{5\pi}{2}\) 정답 ①
세 수열 \(\{a_n\},\;\;\{b_n\},\;\;\{c_n\}\) 의 일반항이 와 같을 때, 수열 중에서 수렴하는 것을 모두 고른 것은? ㄱ. \(a_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2+\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1+\sqrt{n^2 +n}}}}\) ㄴ. \(b_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2-\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1-\sqrt{n^2 +n}}}}\) ㄷ. \(c_n = {\dfrac {\sqrt {2n+2-2\sqrt{n^2 +2n}}}{\sqrt{2n+1-2\sqrt{n^2 +n}}}}\) ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
자연수 (n\) 에 대하여 이차함수 \(f(x)=\sum \limits _{k=1}^{n} \left ( x - {\dfrac{k}{n}} \right ) ^2 \) 의 최솟값을 \(a_n\) 이라 할 때, \(\lim \limits _{n \to \infty} {\dfrac {a_n}{n}} \) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{12}\) ② \(\dfrac{1}{6}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{1}{2}\) ⑤ \(1\) 정답 ①