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목록2018/11 (15)
수악중독
실수 전체에서 증가하는 함수 $f(x)$ 가 다음 세 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=4, \; f(2)=e+4$ (나) $\displaystyle \int_0^2 f(x)\; dx = 2e+5$ (다) $f(x)=2f'(x)+\dfrac{1}{2} x +2$ 함수 $f(x)$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 할 때, $\displaystyle \int_4^{e+4} \dfrac{1}{g'(x)} \; dx$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -4\right )$ ② $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -3 \right )$ ③ $\dfrac{1}{4} \left ( e^2 + 4e -2 \right )$ ④ $\dfrac{1}{4} \left (..
$3$ 보다 큰 자연수 $n$ 에 대하여 원 $C\; : \;x^2+y^2=n$ 이 있다. 삼차함수 $y=f(x)$ 가 $x=-1$ 에서 극대, $x=1$ 에서 극소이고, 두 점 $(-1, \; f(-1)), ~(1, \; f(1))$ 이 모두 원 $C$ 위에 있을 때, 그림과 같이 원 $C$ 의 내부는 곡선 $y=f(x)$ 에 의해 $4$ 개의 영역 $S_1, \; S_2, \; S_3 , \; S_4$ 로 나누어진다. 각 영역 $S_k\; (k=1, \; 2, \; 3, \; 4)$ 의 내부의 점들 중 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $g_k(n)$ 이라 할 때, $g_1(n)>g_3(n)$ 을 만족시키는 $n$ 의 최솟값은 $a$ 이다. $a+\{g_1(a) \times g_3..
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $$g(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x-4} & (x \ne 4) \\[10pt] 2 & (x=4) \end{cases}$$ 에 대하여 $h(x)=f(x)g(x)$ 라 할 때, 함수 $h(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 $h'(4)=6$ 이다. $f(0)$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $32$
실수 $t$ 에 대하여 좌표평면에서 집합 $$\{ (x, \; y) \; | \; y=x \; 또는 \; y=(x-a)^2-a \} \;\; (단, \; a는 \; 실수)$$ 가 나타내는 도형이 직선 $x+y=t$ 와 만나는 점의 개수를 $f(t)$ 라 하자. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $a=0$ 일 때, $f(0)=2$ 이다.ㄴ. 함수 $f(t)$ 는 $t=- \dfrac{1}{4}$ 에서 불연속이다.ㄷ. 함수 $f(t)$ 가 $t=\alpha$ 에서 불연속이 되는 실수 $\alpha$ 의 개수가 $2$ 인 모든 $a$ 의 값의 합은 $\dfrac{1}{4}$ 이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
삼차함수 $f(x)=4x^3 -24x^2 +36x-8k$ ($k$ 는 정수) 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\begin{cases} \displaystyle \int_0^x f(t)\;dt & (x \le a \; 또는 \; x \ge b) \\[10pt] c & (a
한 변의 길이가 $12$ 인 정삼각형 $\rm BCD$ 를 한 면으로 하는 사면체 $\rm ABCD$ 의 꼭짓점 $\rm A$ 에서 평면 $\rm BCD$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 할 때, 점 $\rm H$ 는 삼각형 $\rm BCD$ 의 내부에 놓여 있다. 삼각형 $\rm CHD$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 의 넓이의 $3$ 배, 삼각형 $\rm DBH$ 의 넓이는 삼각형 $\rm BCH$ 넓이의 $2$ 배이고, $\overline{\rm AH}=3$ 이다. 선분 $\rm BD$ 의 중점을 $\rm M$, 점 $\rm A$ 에서 선분 $\rm CM$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 선분 $\rm AQ$ 의 길이는? ① $\sqrt{11}$ ② $2\sqrt{3}$..
점 $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \; 0 \right )$ 에서 곡선 $y=\sin x \; (x>0)$ 에 접선을 그어 접점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 모두 나열할 때, $n$ 번째 수를 $a_n$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여 에서 옳은 것만을 있는대로 고른 것은? ㄱ. $\tan a_n = a_n + \dfrac{\pi}{2}$ㄴ. $\tan a_{n+2} - \tan a_n > 2\pi$ㄷ. $a_{n+1}+a_{n+2}>a_n+a_{n+3}$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)g(x)=x(x+3)$ 이다.(나) $g(0)=1$ $f(1)$ 이 자연수일 때, $g(2)$ 의 최솟값은? ① $\dfrac{5}{13}$ ② $\dfrac{5}{14}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{5}{16}$ ⑤ $\dfrac{5}{17}$ 정답 ①
첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 $ \{a_n\}$ 과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열 $\{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_7 + b_7$ 의 값을 구하시오. (가) $ \sum \limits_{n=1}^5 (a_n +b_n)=27$(나) $\sum \limits_{n=1}^5 (a_n +|b_n|)=67$(다) $\sum \limits_{n=1}^5 (|a_n| +|b_n|)=81$ 정답 $117$
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(-1)$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2 \{f(x)\}^2f'(x)=\{f(2x+1)\}^2f'(2x+1)$ 이다.(나) $f \left ( - \dfrac{1}{8} \right ) = 1, \;\; f(6)=2$ ① $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{6}$ ② $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{3}$ ③ $ \dfrac{\sqrt[3]{3}}{2}$ ④ $ \dfrac{2\sqrt[3]{3}}{3}$ ⑤ $ \dfrac{5\sqrt[3]{3}}{6}$ 정답 ④