수악중독

사차함수 $f(x)=x^4 +ax^2 +b$ 에 대하여 $x \ge 0$ 에서 정의된 함수 $$g(x) = \displaystyle \int_{-x}^{2x} \{ f(t) - |f(t)|\} dt$$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $0

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 방정식 $$(f \circ f)(x) =x$$ 의 모든 실근이 $0, \; 1, \; a, \; 2, \; b$ 이다.$$f'(1)

좌표평면에서 두 곡선 $y=2 \sqrt{x}, \; y=-\sqrt{x}+6$ 과 직선 $x=k$ 로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수가 $59$ 가 되도록 하는 자연수 $k$ 의 값을 구하시오. (단, $k>4$)정답 $18$

$0$ 이 아닌 세 정수 $l, \; m, \; n$ 이 $$ |~l~|+|~m~|+|~n~| \le 10$$을 만족시킨다. $0 \le x \le \dfrac{3}{2}\pi$ 에서 정의된 연속함수 $f(x)$ 가 $f(0)=0, \; f\left ( \dfrac{3}{2}\pi \right ) = 1$ 이고 $$f'(x) = \begin{cases} l \cos x & \left ( 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \right ) \\ m \cos x & \left ( \dfrac{\pi}{2} < x < \pi \right ) \\ n \cos x & \left (\pi < x < \dfrac{3}{2} \pi \right ) \end{cases}$$를 만족시킬 때, $\displaysty..

최고차항의 계수가 $\dfrac{1}{2}$ 이고 최솟값이 $0$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=2 x^4 e^{-x}$ 에 대하여 합성함수 $h(x)=(f \circ g)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 방정식 $h(x)=0$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $4$ 이다.(나) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극소이다.(다) 방정식 $h(x)=8$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $6$ 이다. $f'(5)$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim \limits_{x \to \infty} g(x)=0$) 정답 $30$