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수악중독
그림과 같이 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원의 둘레를 $n \;(n \ge 4)$ 등분한 점을 $\rm A_1, \; A_2, \; \cdots, \; A_{\it n}$ 이라 하자. 호 ${\rm A}_i {\rm A}_{i+1}(i=1, \;2, \; \cdots, \; n)$ 을 이등분한 점을 ${\rm M}_i$라 하고, 사각형 ${\rm A}_i{\rm M}_i {\rm A}_{i+1}{\rm N}_i$ 가 마름모가 되도록 하는 선분 ${\rm OM}_i$ 위의 점을 ${\rm N}_i$ 라 하자. $n$ 개의 사각형 $\rm A_1M_1A_2N_1$, $\rm A_2M_2A_3N_2$, $\rm A_3M_3A_4N_3$, $\cdots$, ${\rm A}_n{\rm M..
상자에는 딸기 맛 사탕 $6$ 개와 포도 맛 사탕 $9$ 개가 들어 있다. 두 사람 $A$ 와 $B$ 가 이 순서대로 이 상자에서 임의로 $1$ 개의 사탕을 각각 $1$ 번 꺼낼 때, $A$ 가 꺼낸 사탕이 딸기 맛 사탕이고, $B$ 가 꺼낸 사탕이 포도 맛 사탕일 확률을 $p$ 라 하자. $70p$ 의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 사탕은 상자에 다시 넣지 않는다.) 정답 $18$
그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{x} e^{\frac{x}{2}}$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(x, \;0), \; {\rm B}(x, \;f(x))$ 를 이은 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 $x$ 축에 수직인 평면 위에 그린다. 점 $\rm A$의 $x$ 좌표가 $x=1$ 에서 $x=\ln 6$ 까지 변할 때, 이 정사각형이 만드는 입체도형의 부피는 $-a+b \ln 6$ 이다. $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$ 는 자연수이다.) 정답 $12$
두 양수 $m, \;p$ 에 대하여 포물선 $y^2=4px$ 와 직선 $y=m(x-4)$ 가 만나는 두 점 중 제1사분면 위의 점을 $\rm A$, 포물선의 준선과 $x$축이 만나는 점을 $\rm B$, 직선 $y=m(x-4)$ 와 $y$ 축이 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. 삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심이 포물선의 초점 $\rm F$ 와 일치할 때, $\rm \overline{AF}+\overline{BF}$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$
그림과 같이 반지름의 길이가 $2$ 인 구 $S$와 서로 다른 두 직선 $l, \;m$ 이 있다. 구 $S$ 와 직선 $l$ 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, \; B,$ 구 $S$ 와 직선 $m$이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm P, \;Q$ 라 하자. 삼각형 $\rm APQ$ 는 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$인 정삼각형이고 $\overline{\rm AB}=2\sqrt{2}, \; \angle {\rm ABQ}=\dfrac{\pi}{2}$ 일 때, 평면 $\rm APB$ 와 평면 $\rm APQ$ 가 이루는 각의 크기 $\theta$ 에 대하여 $100 \cos^2 \theta$ 의 값을 구하시오. 정답 $60$ 보충설명
$0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$ 인 $\theta$ 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 $l, \; m$ 은 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 직선 $l, \;m$ 은 서로 평행하고 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 $\theta$ 이다.(나) 두 직선 $l, \;m$ 은 곡선 $y=\sqrt{2-x^2} \;(-1 \le x \le 1)$ 과 각각 만난다. 두 직선 $l$ 과 $m$ 사이의 거리의 최댓값을 $f(\theta)$라 할 때, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) d \theta = a+b \sqrt{2} \pi$ 이다.$20(a+b)$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 와 $b$는 유리수이다.) 정답..
모든 실수 $x$ 에대하여 이차부등식 $x^2-2(a-1)x+b-2\ge0$ 이 성립할 때, $a+b$ 의 최솟값은 $m$ 이다. $4m$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \;b$ 는 실수이다.) 정답 $11$ 주어진 이차부등식이 모든 실수 $x$ 에 대해서 성립하려면 함수 $y=x^2-2(a-1)x+b-2$ 의 그래프가 $x$ 축 위쪽에서만 그려져야 한다. ($x$ 축에 접하는 것 까지는 괜찮음)따라서 이차방정식 $x^2-2(a-1)x+b-2=0$ 의 판별식이 $0$ 보다 작거나 같아야 한다. $\dfrac{D}{4}=(a-1)^2-b+2\le 0$ $$b \ge (a-1)^2+2$$ 또한 $a+b=k$ 라고 하면 아래 그림처럼 직선 $b=-a+k$ 가 곡선 $b=(a-1)^2+b$ 에 접할 때, 직..
그림과 같이 좌표평면에서 세 점 $\rm O(0, \;0), \;A(4, \;0), \; B(0, \;3)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm OAB$ 를 평행이동한 도형을 삼각형 $\rm O'A'B'$ 이라 하자. 점 $\rm A'$ 의 좌표가 $(9, \;2)$ 일 때, 삼각형 $\rm O'A'B'$ 에 내접하는 원의 방정식은 $x^2+y^2+ax+by+c=0$ 이다. $a+b+c$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \;b,\;c$ 는 상수이다.) 정답 $26$ 먼저 삼각형 $\rm OAB$ 에 내접하는 원의 방정식을 구한 다음 이 원을 $x$ 축의 방향으로 $5$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동 시킨 원의 방정식을 구하면 된다. ($\because \rm A \rightarrow..
전체집합 $U=\{1, \;2, \;3, \;4, \;5, \;6, \;7\}$ 의 두 부분집합 $$A=\{1, \;2, \;3\}, \;\; B=\{2, \;3, \;4, \;5\}$$ 에 대하여 집합 $P$ 를 $$P=(A \cup B) \cap (A \cap B)^C$$ 이라 하자. $P \subset X \subset U$ 를 만족시키는 집합 $X$ 의 개수를 구하시오. 정답 $16$ $$\begin{aligned} P &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^C \\ &=(A \cup B) - (A \cap B) \\&=\{1, \;4, \;5\} \end{aligned}$$따라서 $X$는 $U$ 의 부분집합 중 $P=\{1, \;4, \;5\}$ 를 반드시 포함하는 부분집합이 된다..
그림과 같이 한 변의 길이가 $12$ 인 정사각형 $\rm OABC$ 모양의 종이를 점 $\rm O$ 가 원점에, 두 점 $\rm A, \; C$ 가 각각 $x$축, $y$축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았다. 두 점 $\rm D, \;E$ 는 각각 두 선분 $\rm OC, \; AB$ 를 $2:1$ 로 내분하는 점이고, 선분 $\rm OA$ 위의 점 $\rm F$ 에 대하여 $\overline{\rm OF}=5$ 이다.선분 $\rm OC$ 위의 점 $\rm P$ 와 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 선분 $\rm PQ$ 를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점 $\rm O$ 는 선분 $\rm BC$ 위의 점 $\rm O'$ 으로, 점 $\rm F$ 는 선분 $\rm DE$ 위의 점..