수악중독

좌표평면 위를 움직이는 점 ${\rm P}(x, y)$ 의 시각 $t$ 에서의 위치가 $$\begin{aligned} x &= \sin t + \cos t \\ y &= \sin t - \cos t \end{aligned} $$이다. 에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $t=\pi$ 에서 점 $\rm P$ 의 속력은 $2$ 이다.ㄴ. 임의의 시각 $t$ 에서 점 $\rm P$ 의 속도 $\overrightarrow{v}$ 와 가속도 $\overrightarrow{a}$ 는 서로 수직이다.ㄷ. 점 $\rm P$ 가 $t=0$ 에서 $t=5$ 까지 움직인 거리는 $5\sqrt{2}$ 이다. ① ㄱ ②ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ④

다음은 다항식 $(2+3x)^{20}$ 을 전개한 식에서 계수가 가장 큰 항을 구하는 과정이다. 이항정리를 이용하면 $(2+3x)^{20} = \sum \limits_{r=0}^{20} \;_{20}{\rm C}_r \times 2^{20-r} \times (3x)^r$이므로 $x^r$ 의 계수를 $a_r\; (r=0, \;1, \;2, \; \cdots, \; 20)$ 라 하면$a_r= \;_{20} {\rm C} _r \times 2 ^{20-r} \times 3^r$이다.$\dfrac{a_{r+1}}{a_r}=(가)\; (r=0, \;1, \;2, \; \cdots, \; 19)$ 이므로 $\vdots$$r$ 의 값이 $(나)$ 일 때, $a_r$ 의 값이 최대이다. 위의 과정에서 (가)에 알맞은 ..

$a>1$ 인 상수 $a$ 에 대하여 두 곡선 $y=a^x$ 과 $y= \left(\dfrac{1}{2} \right ) ^{x-2}$ 이 점 $\rm P$ 에서 만난다. 점 $\rm P$ 에서 $y=a^x$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm A$, 점 $\rm P$ 에서 $y=\left( \dfrac{1}{2} \right )^{x-2}$ 과 접하는 직선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\rm B$, 점 $\rm P$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. $3 \overline{\rm AH}=\overline{\rm BH}$ 일 때, $a$ 의 값은? ① $4$ ② $5$ ③ $6$ ④ $7$ ⑤ $8$ 정답 ⑤

좌표공간에서 구 $x^2+y^2+z^2-2y+4z-4=0$ 과 평면 $2x-3y-6z+5=0$ 이 만나서 생기는 원의 $yz$ 평면 위로의 정사영의 넓이는? ① $\dfrac{8}{7}\pi$ ② $\dfrac{9}{7}\pi$ ③ $\dfrac{10}{7}\pi$ ④ $\dfrac{11}{7}\pi$ ⑤ $\dfrac{12}{7}\pi$ 정답 ③

그림과 같이 길이가 $2$ 인 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 반원 위에 점 $\rm P$ 가 있다. 점 $\rm B$ 를 지나고 선분 $\rm AB$ 에 수직인 직선이 점 $\rm P$ 에서 이 반원에 접하는 직선과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. $\rm \angle PAB=\theta$ 라 하고 직선 $\rm PQ$ 와 직선 $\rm BQ$, 호 $\rm PB$ 에 동시에 접하는 원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$ 라 할 때, $\lim \limits_{\theta \to 0+} \dfrac{r(\theta)}{\theta ^2}$ 의 값은? (단, $0

함수 $f \left (e^x \right ) = ax^3 + bx^2 +cx+d$ (단, $a, \;b, \;c, \;d$ 는 상수) 가 다음 조건을 만족한다. (가) $f(e)=3, \;\; f \left (e^2 \right ) =12 $(나) 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $\displaystyle \int_{e^{-x}}^{e^x} \dfrac{f(t)}{t} dt = 0$ 이 성립한다. $\displaystyle \int_1^{e^4} \dfrac{f(x)}{x} dx$ 의 값은? ① $80$ ② $82$ ③ $84$ ④ $86$ ⑤ $88$ 정답 $80$

그림과 같이 두 점 $\rm F, \; F'$ 을 초점으로 하는 타원 $\dfrac{x^2}{49} + \dfrac{y^2}{33}=1$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 가 있다. $\rm \angle FPF'$ 의 이등분선과 $x$ 축의 교점 $\rm Q$ 의 좌표가 $(1, \; 0)$ 일 때, $\left | \overline{\rm PF} - \overline{\rm PF'} \right | = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $9$

그림과 같이 좌표공간에서 서로 수직인 두 평면 $\alpha, \; \beta$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위의 삼각형 $\rm ABC$ 와 평면 $\beta$ 위의 삼각형 $\rm BDC$ 에 대하여 $\rm \angle CAB= \angle DCB = \dfrac{\pi}{2}$ 이고 $\overline{\rm AC}=15$, $\overline{\rm BC}=\overline{\rm CD}=25$ 이다. 점 $\rm A$ 와 직선 $\rm BD$ 사이의 거리를 $d$ 라고 할 때, $d^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $272$

부등식 $a+b+c \le 9$ 를 만족시키는 자연수 $a, \; b, \; c$ 의 모든 순서쌍 $(a, \;b,\;c)$ 의 개수를 구하시오. 정답 $84$

중심이 $\rm O_1$ 이고 반지름의 길이가 $4$ 인 구 위의 점 $\rm P$ 와 중심이 $\rm O_2$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 구 위의 점 $\rm Q$ 가 있다. $\overline{\rm O_1O_2}=6, \; \overline{\rm O_2P}=4$ 일 때, $\left | \overrightarrow{\rm O_1P} + \overrightarrow{\rm O_1Q} \right | $ 의 최댓값이 $a+b \sqrt{22}$ 이다. $a^2+b^2$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 유리수이다.) 정답 $8$