그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}>2\sqrt{7}$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에 대하여 선분 $\mathrm{AC}$ 위의 점 $\mathrm{D}$ 가 $\overline{\mathrm{CD}}=2\sqrt{7}$, $\cos(\angle \mathrm{BDA}) = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$ 을 만족시킨다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 와 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $R_1, \; R_2$ 라 하자. $R_1 :R_2 = 4:3$ 일 때, $\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{BD}}$ 의 값을 구하시오.
