나머지 정리와 항등식 & 미정계수법_난이도 중 (2021년 3월 전국연합 고2 25번)

 

 

다항식 $(x+2)(x-1)(x+a)+b(x-1)$ 이 $x^2+4x+5$ 로 나누어떨어질 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, $a, \; b$ 는 상수이다.)

 

정답 $3$

$(x+2)(x-1)(x+a)+b(x-1)$ 를 $x^2+4x+5$ 로 나눈 몫을 $Q(x)$ 라고 하면 

$(x+2)(x-1)(x+a)+b(x-1)=\left ( x^2 +4x+5 \right ) Q(x) $

위 등식은 $x$ 에 대한 항등식이다.

$(x-1) \{(x+2)(x+a)+b\} = \left (x^2 +4x+5 \right ) Q(x)$

이 식에 $x=1$ 을 대입하면 $0=10Q(1)$ 에서 $Q(1)=0$

또한 좌변은 $x$ 에 대한 $3$차식이고, 최고차항의 계수가 $1$ 이므로 $Q(x)=x-c$ 꼴이 되어야 한다.

$Q(1)=1-c=0$ 에서 $c=1$

$\therefore Q(x)=x-1$ 이 되고 $x^2 + (a+2)x + 2a+b=x^2 + 4x+5$ 가 되어야 한다.

$a+2=4$ 에서 $a=2$

$2a+b=4+b=5$ 에서 $b=1$

$\therefore a+b=2+1=3$