두 점 사이의 거리&두 직선이 수직일 조건_난이도 중 (2019년 9월 전국연합 고1 18번)

 

 

$0$ 이 아닌 실수 $m$ 에 대하여 직선 $l\; : \; y=\dfrac{1}{m}x+2$ 위의 점 ${\rm A}(a, \; 4)$ 에서 $x$ 축에 내린 수선의 발을 $\rm B$ 라 하고, 점 $\rm B$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 다음은 삼각형 $\rm OBH$ 가 $m$ 의 값에 관계없이 이등변삼각형임을 보이는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.)

 

점 ${\rm A}(a, \; 4)$ 는 직선 $l \; : \; y=\dfrac{1}{m}x+2$ 위의 점이므로 

$a= \boxed{ (가) }$

직선 $\rm BH$ 는 직선 $l$ 에 수직이므로

직선 $\rm BH$ 의 방정식은 $y=-m \left (x- \boxed{ (가) } \right )$

직선 $l$ 과 직선 $\rm BH$ 가 만나는 점 $\rm H$ 의 좌표는

${\rm H} \left (\dfrac{2m^3-2m}{\boxed{ (나) }}, \; \dfrac{4m^2}{\boxed{ (나) }} \right )$

선분 $\rm OH$ 의 길이는 

$\begin{aligned}& \sqrt{\left (\dfrac{2m^3-2m}{\boxed{ (나) }}\right )^2 + \left (\dfrac{4m^2}{\boxed{ (나) }} \right )^2} \\ &= \dfrac{|2m|}{\boxed{ (나) }} \sqrt{m^4+\boxed{ (다) } \times m^2 +1 } \\ &= \left | \boxed{ (가) } \right |\end{aligned}$

이므로 선분 $\rm OH$ 의 길이와 선분 $\rm OB$ 의 길이가 서로 같다.

따라서 삼각형 $\rm OBH$ 는 $m$ 의 값에 관계없이 이등변삼각형이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(m), \; g(m)$ 이라 하고, (다)에 알맞은 수를 $k$ 라 할 때, $f(k) \times g(k)$ 의 값은?

 

① $14$          ② $16$          ③ $18$          ④ $20$          ⑤ $22$

 

정답 ④