두 곡선 $y=16^x$, $y=2^x$ 과 한 점 ${\rm A} \left (64, \; 2^{64} \right )$ 이 있다. 점 $\rm A$ 를 지나면 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^x$ 과 만나는 점을 $\rm P_1$ 이라 하고, 점 $\rm P_1$ 을 지나며 $y$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$ 과 만나는 점을 $\rm Q_1$ 이라 하자.
점 $\rm Q_1$ 을 지나며 $x$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y=16^x$ 과 만나는 점을 $\rm P_2$ 라 하고, 점 $\rm P_2$ 를 지나며 $y$ 축과 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$ 과 만나는 점으 $\rm Q_2$ 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 두 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하고 ${rm Q}_n$ 의 $x$ 좌표를 $x_n$ 이라 할 때, $x_n < \dfrac{1}{k}$ 을 만족시키는 $n$ 의 최솟값이 $6$ 이 되도록 하는 자연수 $k$ 의 개수는?
