등차수열의 일반항_난이도 중 (2020년 9월 평가원 고3 가형, 나형 16번)

모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 $x$ 축 위의 점 $ {\rm P}_n$ 과 곡선 $y=\sqrt{3x}$ 위의 점 ${\rm Q}_n$ 이 있다. 

 

(가) 선분 ${\rm OP}_n$ 과 선분 ${\rm P}_n {\rm Q}_n$ 이 서로 수직이다.

(나) 선분 ${\rm OQ}_n$ 과 선분 ${\rm Q}_n {\rm P}_{n+1}$ 이 서로 수직이다.

 

다음은 점 $\rm P_1$ 의 좌표가 $(1, \; 0)$ 일 때, 삼각형 ${\rm OP}_{n+1} {\rm Q}_n$ 의 넓이 $A_n$ 을 구하는 과정이다. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 

 

모든 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n$ 의 좌표를 $(a_n, \; 0)$ 이라 하자. 

$\overline{{\rm OP}_{n+1}} = \overline{{\rm OP}_n} + \overline{{\rm P}_n {\rm P}_{n+1}}$ 이므로 $$a_{n+1} = a_n + \overline{{\rm P}_n {\rm P}_{n+1}}$$ 이다. 삼각형 ${\rm OP}_n {\rm Q}_n$ 과 삼각형 ${\rm Q}_n {\rm P}_n {\rm P}_{n+1}$ 이 닮음이므로 $$\overline{{\rm OP}_n} : \overline{{\rm P}_n {\rm Q}_n} = \overline{{\rm P}_n{\rm Q}_n} : \overline{{\rm P}_n {\rm P}_{n+1}}$$ 이고, 점 ${\rm Q}_n$ 의 좌표는 $\left (a_n , \; \sqrt{3a_n} \right )$ 이므로 $$\overline{{\rm P}_n{\rm P}_{n+1}} = \boxed{ \;(가)\; }$$ 이다. 따라서 삼각형 ${\rm OP}_{n+1} {\rm Q}_n$ 의 넓이 $A_n$ 은 $$A_n = \dfrac{1}{2} \times \left ( \; \boxed{\; (나) \; } \right ) \times \sqrt{9n-6}$$ 이다.

 

위의 (가) 에 알맞은 수를 $p$, (나)에 알맞은 식을 $f(n)$ 이라 할 때, $p+f(8)$ 의 값은?

 

① $20$          ② $22$          ③ $24$          ④ $26$          ⑤ $28$

 

정답 ⑤