함수의 연속&합성함수의 미분_난이도 상 (2020년 6월 평가원 고3 가형 30번)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 $0 \le x <3$ 일 때 $f(x)=|x-1|+ |x-2|$ 이고, 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+3)=f(x)$ 를 만족시킨다. 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\lim \limits_{h \to 0+} \left | \dfrac{f \left (2^{x+h} \right ) - f \left (2^x \right )}{h} \right | $$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 $x=a$ 에서 불연속인 $a$ 값 중에서 열린구간 $(-5, \; 5)$ 에 속하는 모든 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $a_1, \; a_2, \; \cdots, \; a_n$ ($n$ 은 자연수)라 할 때, $n+\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{g(a_k)}{\ln 2}$  의 값을 구하시오. 

정답 $331$