넓이와 정적분&이차함수의 대칭성과 정적분_난이도 상 (2018년 10월 교육청 나형 29번)

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $t$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^t f(x) dx = \int_{2a-t}^{2a}f(x)dx$ 이다.

(나) $\displaystyle \int_a^2 f(x)dx = 2, ~~ \int_a^2|f(x)|dx= \dfrac{22}{9}$ 

$f(k)=0$ 이고 $k<a$ 인 실수 $k$ 에 대하여 $\displaystyle \int_k^2 f(x) dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ 는 상수이고, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)   

정답 $25$