넓이와 정적분&미분가능_난이도 상

자연수 $n$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 이 $a_1=5, \; 2a_{n+1}=a_n+1$ 을 만족할 때, 수열 $\{b_n\}$ 을  $b_n = 4-a_n$ 으로 정의한다. 수열 $\{b_n\}$ 에 대하여 구간 $[-1, \; 3)$ 에서 정의되고, 열린구간 $(-1, \; 3)$ 에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다.

(가) $f'(0)=-1, \; f(b_n)=f \left ( \dfrac{b_n+b_{n+1}}{2} \right ) = 0$

(나) 구간 $[b_n,\; b_{n+1})$ 에서 함수 $f(x)$ 는 삼차함수의 일부이다. 

$-1<\alpha<0$ 인 실수 $\alpha$ 에 대하여 $\displaystyle \int_\alpha^t f(x)\; dx=0$ 을 만족시키는 실수 $t\; (1<t<3)$ 의 값의 개수가 $103$ 일 때, $\log_{\sqrt{2}} \left ( \dfrac{1}{1-\alpha} \right )+ \log_{\sqrt{2}} \left ( \dfrac{1}{1+\alpha} \right )$ 의 값을 구하시오. 

정답 $104$