(고2 이과) 삼차함수 그래프의 특징_난이도 중상

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 원점을 지나는 직선 $y=g(x)$ 가 양의 상수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\lim \limits_{x \to n} \dfrac{f(x)g(x)}{x-n}=0, \;\; \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\{f(x)g(x)\}^{\prime}}{x^3}=4n$ 

(나) 함수 $|f(x)|$ 는 $x=0$ 에서만 미분가능하지 않다.

(다) $f \left ( \dfrac{2n}{3} +x \right ) + f \left ( \dfrac{2n}{3}-x \right ) = \dfrac{4n^3}{27}$

실수 전체에서 연속인 함수 $h(x)$ 가 $h(x)= \left \{ \begin{array}{ll} f(x)g(x) & ( x < n) \\ f(x) & ( n \le x<2n) \\ g(x) & (x \ge 2n) \end{array} \right .$ 라고 할 때, $\displaystyle \int_{f(0)}^{g(3n)} h(x) \; dx = \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$  와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

정답 $247$