수학1_수열의 극한_도형과 무한등비급수_난이도 중

한 변의 길이가 \(4\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 가 있다. 그림과 같이 두 선분 \(\rm AD,\; DC\) 의 중점을 각각 \(\rm P_1 ,\; Q_1\) 이라 하고, 두 선분 \(\rm AQ_1 ,\; CP_1\) 의 교점을 \(\rm D_1\) 이라 하자. 이때, 사각형 \(\rm DP_1 D_1 Q_1\) 의 넓이를 \(S_1\) 이라 하자. 선분 \(\rm BD_1\) 을 대각선으로 하는 정사각형을 \(\rm BC_1 D_1 A_1\) 이라 하자. 두 선분 \(\rm A_1 D_1 , \; D_1 C_1\) 의 중점을 각각 \(\rm P_2 ,\; Q_2\) 라 하고, 두 선분 \(\rm A_1 Q_2 ,\; C_1 P_2\) 의 교점을 \(\rm D_2\) 라 하자. 이때, 사각형 \(\rm D_1 P_2 D_2 Q_2\) 의 넓이를 \(S_2\) 라 하자. 선분 \(\rm BD_2\) 를 대각선으로 하는 정사각형을 \(\rm BC_2 D_2 A_2\) 라 하자. 두 선분 \(\rm A_2 D_2 ,\; D_2 C_2\) 의 중점을 각각 \(\rm P_3 ,\; Q_3\) 이라 하고, 두 선분 \(\rm A_2 Q_3 ,\; C_2 P_3\) 의 교점을 \(\rm D_3\) 이라 하자. 이때, 사각형 \(\rm D_2 P_2 D_3 Q_3\) 의 넓이를 \(S_3\) 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 얻은 \(n\) 번째 사각형의 넓이를 \(S_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{\infty} S_n\) 의 값은?

 

① \(\dfrac{24}{5}\)          ② \(\dfrac{16}{3}\)          ③ \(\dfrac{27}{5}\)          ④ \(\dfrac{20}{3}\)          ⑤ \(\dfrac{36}{5}\)

정답 ①