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목록미적분 - 문제풀이/미분법 (101)
수악중독
좌표평면에서 양의 실수 $t$ 에 대하여 직선 $x=t$ 가 두 곡선 $y=e^{2x+k}, \; y=e^{-3x+k}$ 과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{PQ}}=t$ 를 만족시키는 실수 $k$ 의 값을 $f(t)$ 라 하자. 함수 $f(t)$ 에 대하여 $\lim \limits_{t \to 0+} e^{f(t)}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ②
매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=e^t+\cos t, \quad y=\sin t$$ 에서 $t=0$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ②
원점에서 곡선 $y=e^{|x|}$ 에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\tan \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{e}{e^2+1}$ ② $\dfrac{e}{e^2-1}$ ③ $\dfrac{2e}{e^2+1}$ ④ $\dfrac{2e}{e^2-1}$ ⑤ $1$ 더보기 정답 ④
두 함수 $$f(x)=e^x, \quad g(x)=k\sin x$$ 에 대하여 방정식 $f(x)=g(x)$ 의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $3$ 일 때, 양수 $k$ 의 값은? ① $\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{2}}$ ② $\sqrt{2}e^{\frac{7\pi}{4}}$ ③ $\sqrt{2}e^{2\pi}$ ④ $\sqrt{2}e^{\frac{9\pi}{4}}$ ⑤ $\sqrt{2}e^{\frac{5\pi}{2}}$ 더보기 정답 ④
곡선 $y=xe^{-2x}$ 의 변곡점을 $\mathrm{A}$ 라 하자. 곡선 $y=xe^{-2x}$ 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$ 라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$ 의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.) ① $e^{-2}$ ② $3e^{-2}$ ③ $1$ ④ $e^2$ ⑤ $3e^2$ 더보기 정답 ①
$2\cos \alpha = 3 \sin \alpha$ 이고 $\tan (\alpha+\beta)=1$ 일 때, $\tan \beta$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{6}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{1}{4}$ ④ $\dfrac{1}{3}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 더보기 정답 ②
매개변수 $t$ 로 나타내어진 곡선 $$x=e^t-4e^{-t}, \quad y=t+1$$ 에서 $t=\ln 2$ 일 때, $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값은? ① $1$ ② $\dfrac{1}{2}$ ③ $\dfrac{1}{3}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{5}$ 더보기 정답 ④
좌표평면 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 시각 $t \; (t>2)$ 에서의 위치 $(x, \; y)$ 까 $$x= t \ln t, \quad y=\dfrac{4t}{\ln t}$$ 이다. 시각 $t=e^2$ 에서 점 $\rm P$ 의 속력은? ① $\sqrt{7}$ ② $2\sqrt{2}$ ③ $3$ ④ $\sqrt{10}$ ⑤ $\sqrt{11}$ 더보기 정답 ④
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f\left (x^3 +x \right )=e^x$$ 을 만족시킬 때, $f'(2)$ 의 값은? ① $e$ ② $\dfrac{e}{2}$ ③ $\dfrac{e}{3}$ ④ $\dfrac{e}{4}$ ⑤ $\dfrac{e}{5}$ 더보기 정답 ④
$\sec \theta = \dfrac{\sqrt{10}}{3}$ 일 때, $\sin ^2 \theta$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{3}{20}$ ③ $\dfrac{1}{5}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{3}{10}$ 더보기 정답 ① $\sin^2 \theta = 1- \cos ^2 \theta = 1 - \dfrac{1}{\sec ^2 \theta} = 1-\dfrac{9}{10} = \dfrac{1}{10}$