수악중독

닫힌 구간 $[0, \;1]$ 에서 증가하는 연속함수 $f(x)$ 가 $$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2, \;\;\; \int_0^1 |f(x)| dx = 2\sqrt{2}$$ 를 만족시킨다. 함수 $F(x)$ 가 $$F(x)=\displaystyle \int_0^x |f(t)|dt \;\;(0 \le x \le 1)$$ 일 때, $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx$ 의 값은? ① $4-\sqrt{2}$ ② $2+\sqrt{2}$ ③ $5-\sqrt{2}$ ④ $1+2\sqrt{2}$ ⑤ $2+2\sqrt{2}$ 정답 ④

한 모서리의 길이가 $4$ 인 정사면체 $\rm ABCD$ 에서 삼각형 $\rm ABC$ 의 무게중심을 $\rm O$, 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm P$ 라 하자. 정사면체 $\rm ABCD$ 의 한 면 $\rm BCD$ 위의 점 $\rm Q$ 에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\rm OQ}$ 와 $\overrightarrow{\rm OP}$ 가 서로 수직일 때, $\left | \overrightarrow{\rm PQ} \right |$ 의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $19$

확률변수 $X$ 는 평균이 $m$, 표준편차가 $5$ 인 정규분포를 따르고, 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(10)>f(20)$(나) $f(4)

실수 $k$ 에 대하여 함수 $f(x)=x^3-3x^2+6x+k$ 의 역함수를 $g(x)$ 라 하자. 방정식 $4f'(x)+12x-18=(f' \circ g)(x)$ 가 닫힌 구간 $[0, \;1]$ 에서 실근을 갖기 위한 $k$ 의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$ 이라 할 때, $m^2 + M^2$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$

$x>a$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $-1$ 인 사차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a$ 는 상수이다.) (가) $x>a$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $(x-a)f(x)=g(x)$ 이다.(나) 서로 다른 두 실수 $\alpha, \; \beta$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 는 $x= \alpha$ 와 $x=\beta$에서 동일한 극댓값 $M$ 을 갖는다. (단, $M>0$)(다) 함수 $f(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수는 함수 $g(x)$ 가 극대 또는 극소가 되는 $x$ 의 개수보다 많다. $\beta - \alpha = 6 \sqrt{3}$ 일 때, $M$ 의 최솟값을 구하시오. 정답 $216$