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목록2016/04/06 (26)
수악중독
그림과 같이 함수 $f(x)=\sqrt{x \left ( x^2 +1 \right ) \sin \left( x^2 \right )}\;\; \left (0 \le x \le \sqrt{\pi} \right )$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 $ x$ 축으로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 두 점 ${\rm P}(x, \; 0)$, ${\rm Q}(x, \; f(x))$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면이 선분 $\rm PQ$ 를 한 변으로 하는 정삼각형이다. 이 입체도형의 부피는?① $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+2)}{8}$ ② $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+3)}{8}$ ③ $\dfrac{\sqrt{3}(\pi+4)}{8}$ ④ $\dfr..
양의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y= \ln x$ 위의 두 점 ${\rm P}(t, \; \ln t)$, ${\rm Q}(2t, \; \ln 2t)$ 에서의 접선이 $ x$ 축과 만나는 점을 각각 ${\rm R}(r(t), \; 0)$, ${\rm S}(s(t), \; 0) $ 이라 하자. 함수 $ f(t)$ 를 $f(t)=r(t)-s(t)$ 라 할 때, 함수 $f(t)$ 의 극솟값은? ① $-\dfrac{1}{2}$ ② $-\dfrac{1}{3}$ ③ $-\dfrac{1}{4}$ ④ $-\dfrac{1}{5}$ ⑤ $-\dfrac{1}{6}$ 정답 ③
그림과 같이 타원 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1$ 의 두 초점 중 $x$ 좌표가 양수인 점을 $\rm F$, 음수인 점을 $\rm F'$ 이라 하자. 타원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 선분 $\rm PF'$ 의 중점 $\rm M$ 의 좌표가 $ (0, \; 1)$ 이고 $\rm \overline{PM}=\overline{PF} $ 일 때, $a^2+ b^2$ 의 값은? (단, $a, \; b$ 는 상수이다.) ① $14$ ② $15$ ③ $ 16$ ④ $17$ ⑤ $18$ 정답 ②
함수 $f(x)=xe^{-2x+1}$ 에 대하여 함수 $$g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl}{f(x) - a}&{(x > b)}\\0&{\left( {x \le b} \right)}\end{array}} \right.$$ 가 실수 전체에서 미분가능할 때, 두 상수 $a,\; b$ 의 곱 $ab$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{10}$ ② $\dfrac{1}{8}$ ③ $\dfrac{1}{6}$ ④ $\dfrac{1}{4}$ ⑤ $\dfrac{1}{2}$ 정답 ④
$1$ 부터 $7$ 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 $7$ 개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 $1$ 개의 공을 꺼내는 시행을 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공을 모두 꺼내면 시행을 멈춘다. $5$ 번째까지 시행을 한 후 시행을 멈출 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) ① $\dfrac{6}{35}$ ② $\dfrac{1}{5}$ ③ $\dfrac{8}{35}$ ④ $\dfrac{9}{35}$ ⑤ $\dfrac{2}{7}$ 정답 ①
다음은 모든 실수 $x$ 에 대하여 $2x-1 \ge ke^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값을 구하는 과정이다. $f(x)=(2x-1)e^{-x^2}$ 이라 하자. $f'(x)=(가)\times e^{-x^2}$$f'(x)=0$ 에서 $x=-\dfrac{1}{2}$ 또는 $x=1$함수 $f(x)$ 의 증가와 감소를 조사하면함수 $f(x)$ 의 극솟값은 $(나)$ 이다.또한 $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)=0, \; \lim \limits_{x \to - \infty} f(x)=0$ 이므로함수 $y=f(x)$ 의 그래프의 개형을 그리면함수 $f(x)$ 의 최솟값은 $(나)$ 이다.따라서 $2x-1 \ge k e^{x^2}$ 을 성립시키는 실수 $k$ 의 최댓값은..