수학적 귀납법_난이도 중 (2020년 11월 교육청 고3 가형 16번, 나형 17번)

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{k \left (2^{k+2} - 3k-4 \right )}{4^{k+1}} = \left ( 1- \dfrac{n+2}{2^{n+1}} \right )^2 \;\; \cdots \cdots \; (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

 

$({\rm i}) \; n=1$ 일 때 $$(좌변)=(우변)=\boxed{ \; (가) \; }$$ $\;\;\;~~$이므로 $(*)$ 이 성립한다.

$({\rm ii}) \; n=m$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $$\sum \limits_{k=1}^m \dfrac{k \left ( 2^{k+2} -3k -4 \right )}{4^{k+1}} = \left ( 1 - \dfrac{m+2}{2^{m+1}} \right )^2$$ $\;\;\;~~$ 이다.

    $~~~n=m+1$ 일 때, $$\begin{aligned} & \sum \limits_{k=1}^{m+1} \dfrac{k \left (2^{k+2} -3k-4 \right )}{4^{k+1}} \\[10pt] &= \left ( 1 - \dfrac{m+2}{2^{m+1}} \right )^2 + \dfrac{(m+1) \times \left ( \boxed{\; (나) \; } \right )}{4^{m+2}} \\[10pt] &= 1-\dfrac{m+2}{2^m} + \dfrac{(m+2)^2}{4^{m+1}} + \dfrac{m+1}{\boxed{\; (다)\; }}-\dfrac{(m+1)(3m+7)}{4^{m+2}} \\[10pt] &= 1-\dfrac{m+3}{2^{m+1}}+\dfrac{(m+3)^2}{4^{m+2}} \\[10pt] &= \left ( 1-\dfrac{m+3}{2^{m+2}} \right )^2 \end{aligned}$$ $\;\;\;~~$ 이다.

    $~~~$따라서 $n=m+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

$\rm (i), \; (ii)$에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n \dfrac{k \left (2^{k+2} -3k-4 \right )}{4^{k+1}} = \left (1 - \dfrac{n+2}{2^{n+1}} \right )^2$$  이다.

 

위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)에 알맞은 식에 $m=3$ 을 대입한 값을 $q$, (다)에 알맞은 식에 $m=4$ 를 대입한 값을 $r$ 라 하면 $p \times q \times r$ 의 값은?

 

① $64$         ② $96$          ③ $128$          ④ $160$          ⑤ $192$

 

정답 ②