연속확률분포

연속확률분포 - 확률밀도함수

확률밀도함수의 성질

관련예제

[(9차) 확률과 통계] - 확률밀도함수의 성질_난이도 중

연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차

정규분포란?

정규분포의 표준화 (표준정규분포)

표준정규분포표를 읽는 방법

다음그림은 표준정규분포표의 일부입니다.

표준정규분포표는 항상 \({\rm P} (0 \le Z \le z) \) 의 값을 나타냅니다. 즉, 확률변수 \( Z\) 가 \(0\) 에서부터 \(z\) 까지의 값을 갖게 되는 확률을 나타내는 것이지요. 표에서 찾아야 하는 것은 바로 \(z\) 값입니다. 이 \(z\) 값은 소수 첫 번째 자리의 수가 맨 왼쪽 세로줄에 표시가 되고, 소수 두 번째 자리의 수가 맨 윗쪽 가로죽에 표시가 됩니다. 따라서 해당 가로줄과 세로줄이 만나는 곳의 적혀 있는 값이 우리가 찾는 확률값이 됩니다.

예를 들어, \({\rm P}(0 \le Z \le 1.96)\) 의 값을 찾으려면 맨 왼쪽의 세로줄에서 \(1.9\) 이 적혀 있는 곳을 찾고, 맨 윗쪽의 가로줄에서 \(6\) 이 적혀 있는 곳을 찾습니다. 그리고 \(1.9\) 에서는 오른쪽으로, \(6\) 에서는 아랫쪽으로 가다가 둘이 만나는 지점에 있는 값 \(0.4750\) 이 우리가 찾는 확률값이 됩니다. 이와 같이 값을 읽는다면 \({\rm P}(0 \le Z \le 2.58) = 0.4951\) 이 됩니다.

※ \(a>0, \; b>0\) 일 때, 표준정규분포표의 이용법

(1) \({\rm P}(a \le Z \le b) = {\rm P}(0 \le Z \le b) - {\rm P}(0 \le Z \le a)\)

(2) \({\rm P}(-a \le Z \le b) = {\rm P}(-a \le Z \le 0) + {\rm P}(0 \le Z \le b) = {\rm P} (0 \le Z \le a) + {\rm P}( 0 \le Z \le b)\)

(3) \( {\rm P}(Z \ge a) = 0.5 - {\rm P}(0 \le Z \le a)\)

이항분포의 정규분포로의 근사

확률변수가 \( X\) 가 이항분포 \({\rm B}(n, \;p)\) 를 따를 때, \(n\) 이 충분히 큰 확률변수 \( X\) 의 분포는 근사적으로 정규분포 \({\rm N}(np, npq)\) 를 따른다는 것이 알려져 있다. (단, \(p+q=1\))

이 내용은 고등학교 교육과정에서 설명할 수 있는 범위를 넘어선다. 따라서 다음의 예제로 설명을 대신한다.

주사위를 \( n\) 회 던질 때, \(1\) 의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 \( X\) 라고 하면 \(X\) 는 이항분포 \({\rm B} \left ( n, \; \dfrac{1}{6} \right )\) 를 따르게 되고, \( n\) 이 커짐에 따라 이항분포의 확률값들의 형태가 정규분포의 형태를 보임을 알 수 있다.

위 그림에서 볼 수 있듯이 \(n\) 이 \(30\) 이상의 값을 갖게되면 이항분포를 정규분포로 근사시킬 수 있다고 알려져 있다. (고등학교 교육과정에서는 그냥 이렇게 알아두도록 하자.)

실제 문제에서는 "주사위를 \(720\) 번 던질 때, \(1\) 의 눈이 나오는 횟수를 확률 변수 \(X\) 라고 하면 \(X\) 는 이항분포 \({\rm B} \left( 720, \; \dfrac{1}{6} \right ) \) 을 따르게 된다. " 과 같은 부분이 등장을 하게 된다. 이때, \( n=720\) 이 충분히 크기 때문에 (\(30\) 보다는 훨씬 큰 수이기 때문에) 확률변수 \( X\) 가 근사적으로 정규분포 \({\rm N} \left ( 120, \; 10^2 \right )\) 를 따른다고 생각하고 문제를 풀면 된다.

정규분포의 표준화 관련 예제 

통계_정규분포의 표준화_난이도 하

정규분포의 표준화_난이도 중

정규분포의 표준화_확률로부터 z값 구하기_난이도 중

정규분포의 표준화_난이도 중

정규분포의 표준화_난이도 중

정규분포의 표준화_난이도 중

정규분포의 표준화_난이도 중

정규분포의 표준화_난이도 중

정규분포의 표준화_난이도 상

이항분포의 정규분포로의 근사 관련 예제

이항분포의 정규분포로의 근사_난이도 중

이항분포의 정규분포로의 근사_난이도 중

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이항분포의 정규분포로의 근사_난이도 중

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이항분포의 정규분포로의 근사_난이도 상

이항분포의 정규분포로의 근사_난이도 상