수악중독

그림과 같이 원을 $6$ 등분한 각 점에 차례로 $1$ 부터 $6$ 까지의 번호를 붙였다. 이 점들 중에서 한 개의 주사위를 $n$ 번 던져서 한 번 이상 나오는 눈의 수가 붙은 점만 남기고 나머지 점은 모두 지울 때, 남아 있는 점 중에서 서로 다른 $3$ 개의 점을 연결하여 만들 수 있는 직각삼각형이 존재하지 않을 확률을 $p_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^\infty p_n = \dfrac{b}{a}$ 일 때, 서로소인 두 자연수 $a, \; b$ 에 대하여 $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, 남아 있는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 이하이면 만들 수 있는 직각삼각형은 존재하지 않는 것으로 한다.) 정답 $9$

한 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 각각 $x_1, \; x_2, \; x_3, \; \cdots, \; x_9$ 라 하고, 공 $x_i$ 의 부피와 무게를 각각 $V_i, \; m_i$ $(i=1, \; 2, \;3, \; \cdots, \; 9)$ 라 할 때, $$V_1 m_2 > m_3 > \cdots > m_9$$ 가 성립한다. 이 주머니에 들어 있는 $9$개의 공을 임의로 $3$개씩 $3$개의 주머니 $\rm A, \; B, \;C$ 에 나누어 넣을 때, 각 주머니에 들어 있는 공 중 부피가 최대인 공의 부피를 각각 $V_{\rm A}, \; V_{\rm B}, \; V_{\rm C}$ 라 하고, 무게가 최대인 공의 무게를 각각 $m_{\rm A}, \; m_{\rm B}, \; m_{\rm..

흰 공 $2$ 개, 빨간 공 $4$ 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 $2$ 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $2$ 개의 공이 모두 흰 공일 확률이 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $16$ $\dfrac{_2{\rm C}_2}{_6{\rm C}_2} = \dfrac{1}{15} = \dfrac{q}{p}$$\therefore p=15, \; q=1$$\therefore p+q=16$

어느 고등학교 체육 대회에서 이어달리기 학급대표로 세 학생 $\rm A, \; B, \;C$ 를 포함한 $5$ 명의 학생이 선발되었다. 이 $5$ 명의 학생들이 달리는 순서를 정할 때, 두 학생 $\rm A, \;B$ 가 학생 $\rm C$ 보다 먼저 달리는 순서로 정해질 확률은 $p$ 이다. $90p$ 의 값을 구하시오. 정답 $30$

주머니 $A$ 와 $B$ 에는 $1, \;2, \;3, \;4, \; 5$ 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 $5$ 개의 공이 각각 들어 있다. 주머니 $A$ 와 $B$ 에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내어 주머니 $A$ 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $a$, 주머니 $B$ 에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 $b$ 라 할 때, 직선 $y=ax+b$ 가 곡선 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+3x$ 와 만나지 않을 확률은? ① $\dfrac{17}{25}$ ② $\dfrac{18}{25}$ ③ $\dfrac{19}{25}$ ④ $\dfrac{4}{5}$ ⑤ $\dfrac{21}{25}$ 정답 ⑤

아래 그림과 같이 가운데를 제외하고 4개의 부분으로 나뉘어진 영역에 임의로 빨간색, 파란색과 노란색을 칠할 때, 경계가 닿아 있는 영역끼리는 서로 다른 색으로 칠해질 확률은? ① \(\Large \frac{1}{9}\) ② \(\Large \frac{1}{6}\) ③ \(\Large \frac{2}{9}\) ④ \(\Large \frac{1}{3}\) ⑤ \(\Large \frac{4}{9}\) 정답 ③

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 \( 1, \; 2 , \; 3 , \; \cdots , \; 10 \) 인 \( 10 \) 개의 동심원으로 이루어진 과녁에 반지름의 길이가 \( 1 \) 인 원부터 차례로 \( 10 \) 점, \( 9 \) 점, \( \cdots\), \( 1 \) 점의 점수가 매겨져 있다. 이 과녁에 임의로 한 발의 화살을 쏠 때, 홀수 점수를 받을 확률을 구하시오. (단, 화살은 반드시 과녁에 맞고, 경계선에는 맞지 않는다고 가정한다.) 정답 \( \dfrac{11}{20}\)

주머니에 \(1, \;1, \;2,\;3,\;4\) 의 숫자가 하나씩 적혀 있는 \(5\) 개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 \(4\) 개의 공을 동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀 있는 수를 \(a. \; b,\; c,\; d\) 라 할 때, \( a \le b \le c \le d\) 일 확률은? ① \(\dfrac{1}{15}\) ② \(\dfrac{1}{12}\) ③ \(\dfrac{1}{9}\) ④ \(\dfrac{1}{6}\) ⑤ \(\dfrac{1}{3}\) 정답 ①

그림과 같이 \(1, \;2,\;3,\;4,\;5,\;6\) 의 숫자가 한 면에만 각각 적혀 있는 \(6\) 장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 \(2\) 이하이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 \(1\) 장을 뒤집고, \(3\) 이상이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드부터 차례로 \(2\) 장의 카드를 뒤집는 시행을 한다. \(3\) 번째 시행에서 \(4\) 가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 확률은? (단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.)① \(\dfrac{4}{9}\) ②\(\dfrac{13}{27}\) ③ \(\dfrac{14}{27}\) ④ \(\dfrac{5}{9}\) ⑤ \(\dfrac{16}{27}\) 정답 ③

\(8\) 명의 선수가 참가한 테니스 대회의 대진표가 아래 그림과 같다. 경기는 토너먼트 방식으로 진행되고, \(8\) 명의 참가자는 모두 실력 차이가 있어서, 각 경기에서는 실력이 뛰어난 선수가 언제가 이긴다고 한다. 대진표에서 상대 선수는 실력에 관계없이 추첨으로 정할 때, 실력이 \(3\) 위인 선수가 실력이 \(1\) 위인 선수와 경기를 하게 될 확률은? ① \(\dfrac{2}{3}\) ② \(\dfrac{5}{7}\) ③ \(\dfrac{16}{21}\) ④ \(\dfrac{17}{21}\) ⑤ \(\dfrac{6}{7}\) 정답 ①